5.2.1基本初等函数的导数-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

选修第二册 《第五章 一元函数的导数及其应用》 5.2.1 基本初等函数的导数 回顾：导数的定义及其意义 新知探究 由导函数的定义可知，一个函数的导数是唯一确定的. 在必修第一册中我们学过初等函数，并且知道，很多复杂的函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得到的.由此自然想到，能否先求出基本初等函数的导数，然后研究出导数的“运算法则”，这样就可以利用导数的运算法则和基本初等函数的导数求出复杂函数的导数.本节我们就来研究这些问题. 新知探究 问题1 ：前面我们学习了导数的定义，并且会用定义求函数在某一点处的导数，那么由导数定义求函数y=f (x)的导数的步骤是什么呢？ ①求平均变化率： ②取极限，得导数： 问题2:你能根据导数的定义，求出下列函数的导数吗？ 根据导数的定义，求函数y＝f (x)的导数，就是求出当Δx →0时， 无限趋近的那个定值. 推导基本初等函数的导(函)数 若y=c表示路程关于时间的函数, 则y′=0的物理意义是某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态. 推导基本初等函数的导(函)数 若y=x表示路程关于时间的函数, 则y′=1的物理意义是某物体的瞬时速度始终为1，即做匀速直线运动. 推导基本初等函数的导(函)数 y′=2x的几何意义是函数y=x2的图象上点(x, y)处的切线斜率为2x，即随着x的变化，切线的斜率也在变化 若y=x2表示路程关于时间的函数, 则y′=2x的物理意义是某物体做瞬时速度为2x的变速运动. 当x<0时，x越大，|y′|越小，y=x2减少得越来越慢；当x>0时，x越大，|y′|越大，y=x2增加得越来越快. 推导基本初等函数的导(函)数 y′=3x2的几何意义是函数y=x3的图象上点(x, y)处的切线斜率为3x2，即随着x的变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数. 推导基本初等函数的导(函)数 x>0时，x越大，|y′|越小，函数减少得越来越慢. x<0时，x越大，|y′|越大，函数减少得越来越快； 推导基本初等函数的导(函)数 新知探究 y=f(x)=x的导数：y′ ＝1 y=f(x)=x2的导数：y′＝2x y=f(x)=x3的导数：y′＝3x2 y=f(x)= 的导数： y=f (x)= 的导数： 思考：以上函数都是什么函数？它们的导函数有什么规律？ 基本初等函数的导数公式表(直接使用) 巩固1：求函数的导数 巩固2：利用导数求曲线的切线方程 已知点是切点 已知点不是切点 设切点 设切线方程 代已知点 代切点 巩固2：利用导数求曲线的切线方程 无论已知点是否为切点，都可用此法，避免漏解。 巩固2：利用导数求曲线的切线方程 析：当直线l与曲线y＝ln x相切于点P， 且与直线y＝x＋1平行时，|PQ|最小. 巩固3：利用导数的意义解决实际问题 课本P77-例2.假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%，物价p(单位:元)与时间t(单位:年)之间的关系为p(t)= p0(1＋5%)t其中p0为t =0时的物价.假定某种商品的p0=1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01元/年)？ $$