专题6-2 排列与组合【15类题型汇总】- 2023-2024学年高二数学下·人教A版必修第三册·重难点专题突破

2023-2024学年高二下·人教A版选择性必修第三册·重难点专题突破 专题6-2 排列与组合【15类题型汇总】 总览 题型解读 【题型1】有关排列数与组合数的计算与证明 2 【题型2】 排列数与组合数的方程和不等式 5 【题型3】 排列与组合的理解与应用 9 【题型4】元素（位置）有限制的排列组合问题 12 【题型5】相邻问题（捆绑法） 13 【题型6】不相邻问题（插空法） 15 【题型7】捆绑法与插空法结合 17 【题型8】定序问题 19 【题型9】最短路线问题（台阶问题） 22 【题型10】间接法（至多至少，正难则反） 25 【题型11】分组问题（消序） 27 【题型12】分组分配问题 28 【题型13】相同元素分配问题：挡板法 30 【题型14】多面手问题 32 【题型15】元素配对问题(鞋子成双问题) 34 模块一 基础题型与知识点 【题型1】有关排列数与组合数的计算与证明 排列数公式：=n(n-1)(n-2)(n-m+1).这里，n,m∈，并且mn. 组合数的性质 (1)性质1：= 这个性质反映了组合数的对称性，其实际意义：从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素后， 剩下(n-m)个元素，因而从n个不同元素中取m个元素的组合，与剩下的(n-m)个元素的组合是一一对应的，因此取法是一样多的. 利用这个性质，当m>时，我们可以不直接计算，而是改为计算，这样可以简化运算. (2)性质2：=+ 这个性质可以理解为分类加法计数原理的应用，在确定从(n+1)个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素时，对于某一个特定元素，只存在取与不取两种情况，如果取这个元素，则只需从剩下的n个元素中再取(m-1)个元素，有种取法；如果不取这个元素，则需从剩下的n个元素中取出m个元素，有种取法. 由分类加法计数原理可得：=+. 在应用中，要注意这个性质的变形、逆用等. 1． 可表示为（　　） A． B． C． D． 2． 已知，，. (1)求值：，(2)化简：. 【巩固练习1】（多选）下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】证明： ． 【巩固练习3】（多选题）下列等式中成立的是（　　） A． B． C． D． 【巩固练习4】设n为正整数，求值： (1)；(2)． 【巩固练习5】已知m是自然数，n是正整数，且．求证： (1)；(2)． 【题型2】 排列数与组合数的方程和不等式 组合数的性质:（1） ;（2） 3． 不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 4． 求证：． 5． 若，则的值为（    ） A． B． C． D． 6． 若，则正整数的值为 ． 7． 解下列方程. (1)；(2). 【巩固练习1】解下列方程或不等式． (1)=2； (2). 【巩固练习2】（多选题）下列等式中成立的是（　　） A． B． C． D． 【巩固练习3】解关于正整数x的方程： (1)； (2)． 【巩固练习4】(1)已知 求的值构成的集合; (2)求等式中的值. 【题型3】 排列与组合的理解与应用 一、排列 （1）排列概念的理解 ①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列. ②两个排列相同的条件：元素完全相同；元素的排列顺序也相同. ③定义中“一定的顺序”就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断，这一点要特别注意. (2)排列的判断 判断一个问题是不是排列问题的关键：判断是否与顺序有关，与顺序有关且是从n个不同的元素中任取m(mn，n,m∈)个元素的问题就是排列问题，否则就不是排列问题.而检验一个问题是否与顺序有关的依据就是变换不同元素的位置，看其结果是否有变化，若有变化就与顺序有关，就是排列问题；若没有变化，就与顺序无关，就不是排列问题. 二、组合 (1)组合的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. (2)组合概念的理解 ①组合的概念中有两个要点：要求n个元素是不同的；“只取不排”，即取出的m个元素与顺序无关， 无序性是组合的特征性质. ②两个组合相同：只要两个组合中的元素完全相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合. (3)排列与组合的联系与区别 联系：都是从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素. 区别：排列是把取出的元素按顺序排成一列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可以，取出的元素与顺序无关.可总结为：有序排列，无序组合. 8． 两位同学分别从甲、乙、丙3门课程中选修1门，且2人选修的课程不同，则不同的选法共有(    )种 A．9 B．6 C．8 D．4 9． 若6个人分4张无座的足球