6.4.3 余弦定理、正弦定理 教案-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

余弦定理、正弦定理的教案 课型：厂新课口复习口实验口讲评 【教材分析】 (一)教材分析 本小节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版(2019)第六章《平面向量及其应用》 的第四节《平面向量的应用》。正弦定理是学生在已经系统学习了用三角函数，平面向量，余 弦定理等知识基础上进行的，同时又为正余弦定理的应用和解三角形的学习奠定了基础，所以 它在教材中起承前启后的重要作用。 【学情分析】 (一)学情分析 在初中，学生已经研究过直角三角形，所以当他们面对锐角、钝角三角形时，最自然的想法是 构造直角三角形，但正弦定理的发现、探索、证明还是有一定的难度，需要充分发挥小组合作 的力量 【教学日标】 (一)教学目标 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题，掌握三角形的面积 公式的简单推导和应用，能证明三角形中的简单的恒等式， 【教学重难点】 (一)教学重难点 教学重点：三角形面积公式的利用及三角形中简单恒等式的证明. 教学难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题， 【新课导入】 (一)新课导入 如图，某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道的长度.工程技术 人员先在地面上选一适当的位置A,量出A到山脚B,C的距离，其中AB=3km,AC=1km, 再利用经纬仪测出A对山脚BC(即线段BC)的张角∠BAC=150°· 【问题1】我们知道勾股定理，即在Rt△4BC中，已知两条直角边a,b和C=90°，则c2 =α2十b2那么一般的三角形中，是否也有相似的结论？ 【提示】在△4BC中，c2=a2+b2-2 abcos C.这个公式是余弦定理的形式之一.当C=90°时， 则cosC=0,将cosC=0代入上式即是勾股定理c2=a2+b2 【问题2】你能通过上面的问题1的结论计算求出山脚的长度BC吗？ 【提示】利用BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A可求出BC的长. 【新课讲解】 (一)正弦定理 正弦定理的应用 定理剖析，加深理解 (1)正弦定理：在一个三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等，即： sin A sin B sin C (2)从表达式的结构看，正弦定理所表达的边与对角的正弦的比是严格的对边与对角的正弦比。 这种对应关系是严谨的，也是和谐的，它体现了数学的一种和谐美。 (3)从方程的观点看，表达式中每一个等号所形成的等式中，含有四个量，显然可“知三求一”。 于是，正弦定理可解决两类有关解三角形的问题： ①已知两边与任一边，求其他两边和一角： ②已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求出其他的边和角。 例1已知在△4BC中，c=10,A=45°，C=30°，求a,b和B 解：c=10,A=45°，C=30° B=180°-(A+C)=105° 由 c 得 a=csin 4 10xsin 450 =10√2 sin A sin C sin C sin 30 由bc得 sin B sin C h-csmB_10xsm10s°-20sn75”-20x6+5-56+52 sin C sin30° 4 例2在△4BC中，b=√5，B=60°，c=1求a和A,C sinBsin Csin csin B Ix sin 60 解：：b b 3 2 .b>C,B=60°，.C<B,C为锐角，.C=30°，B=90 a=Vb2+c2=2 【比较例1，例2】体会： 例3△4BC中，c=V6,A=45°，a=2,求b和B,C 解： sinsin c咖C-e04-6xsm45°5 2 2 ,csinA<a<c,∴.C=60°或120° 当C=60时，B=75°，b=csinB-V6sin75 sin C sin60° =5+1 当C=120°时，B=15，°b=csinB-V6sin159 sin C sin 600 =3-1 .b=√3+1，B=75°，C=60°或b=√3-1，B=15°，C=120° 【变式】△4BC中，a=√2，A=135°，b=V5,求B 【探索】 (*)例4已知△ABC,BD为B的平分线，求证：AB:BC=AD:DC 【板书】 (一)板书 解三角形 余弦定理 定理内容及推论 已知两边一角，解三角形 应用 已知三边，解三角形 【课后反思】 (一)课后反思 (1)通过这节课，你学到了什么知识？ (2)在解决问题时，用到了哪些数学思想？