专题6.4 二项式定理（5类必考点）-2023-2024学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第三册）

专题6.4 二项式定理 【考点1：二项展开式与通项】 1 【考点2：二项式系数与项系数】 3 【考点3：二项展开式中的系数和】 4 【考点4：二项式系数或展开式系数的最值问题】 5 【考点5：二项式定理的应用】 7 【考点1：二项展开式与通项】 【知识点：二项展开式与通项】 二项 展开式 公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)叫做二项式定理 二项式 的通项 Tk＋1＝Can－kbk为展开式的第k＋1项 [方法技巧] 二项展开式问题的常见类型及解法 (1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第k＋1项，再由特定项的特点求出k值即可． (2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其参数．　　 求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路 (1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解． (2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2； (3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．　　 求形如(a＋b＋c)n展开式中特定项的步骤 1．（2024·辽宁·一模）的展开式共（   ） A．10项 B．15项 C．20项 D．21项 2．（2024·广东·模拟预测）若，则（ ） A．6 B．16 C．26 D．36 3．（2023高二下·江苏宿迁·期中）化简： ． 4．（2023高二·全国·竞赛）若，且，则 ． 5．（2024高二下·全国·课时练习）化简：得到 . 6．（2024高二下·江苏·课前预习）（1）求的展开式. （2）化简：. 【考点2：二项式系数与项的系数】 【知识点：二项式系数与项的系数】 二项式 系数 二项展开式中各项的系数C(r∈{0，1，…，n})叫做第r＋1项的二项式系数 项的 系数 项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念．如(a＋bx)n的展开式中，第r＋1项的系数是Can－rbr 1．（2024·北京怀柔·模拟预测）在的展开式中，常数项是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西宝鸡·一模）展开式中的第四项为（    ） A． B． C．240 D． 3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知的展开式中的常数项为0，则（    ） A．3 B． C．2 D． 4．（23-24高二上·浙江杭州·期末）的展开式中的系数为 ． 5．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）在的展开式中，常数项为 ．（用数字作答） 6．（23-24高三下·山东菏泽·开学考试）已知展开式中常数项为280，则 . 7．（2024·江西·模拟预测）若的二项展开式的第7项为常数项，则 . 8．（2024高二下·广东梅州·阶段练习）设的展开式的第项与倒数第项的比是，求展开式中的第项． 【考点3：二项展开式中的系数和】 【知识点：赋值法在求各项系数和中的应用】 (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可． (2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)． ①奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝， ②偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. [易错提醒] (1)利用赋值法求解时，注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值(包括符号)； (2)在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符号，然后将绝对值去掉，再进行赋值．　　 1．（23-24高二上·黑龙江·期末）在的二项展开式中，各二项式系数之和为，各项系数之和为，若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（多选）（23-24高二上·湖南长沙·期末）的展开式中，下列结论正确的是（    ） A．展开式共6项 B．常数项为 C．所有项的二项式系数之和为64 D．所有项的系数之和为0 3．（23-24高三下·陕西安康·开学考试）展开式的二项式系数之和是256，则 . 4．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的含的项的系数为 . 5．（23-24高三上·河北邢台·期末）已知展