8.2 离散型随机变量及其分布列（十二大题型）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第二册）

8.2 离散型随机变量及其分布列 课程标准 学习目标 （1）通过具体实例，理解离散型随机变量的概率分布. （2）会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题． （3）能利用n重伯努利试验及二项分布解决一些简单的实际问题． （4）掌握二项分布的概率表达形式. （5）理解超几何分布的概念及特征. （1）能列出随机变量的取值所表示的事件． （2）掌握离散型随机变量概率分布的表示方法和性质 （3）理解两点分布 （4）理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念. （5）掌握超几何分布的均值的计算.2.了解二项分布同超几何分布的区别与联系． 知识点01 离散型随机变量的均值或数学期望 正确地求出离散型随机变量的分布列是求解期望的关键一般地，若离散型随机变量的分布列为 … … … … 则称为随机变量的均值或数学期望，数学期望简称为期望．均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平． 【即学即练1】（2024·全国·模拟预测）从1-20中随机抽取3个数，记随机变量为这3个数中相邻数组的个数．如当这三个数为11，12，14时，；当这三个数为7，8，9时，．则的值为（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 知识点02 两点分布的期望 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么； 【即学即练2】（2024·高二·陕西汉中·期末）某校举行围棋友谊赛，甲、乙两名同学进行冠亚军决赛，每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，规定：每一局比赛中胜方记1分，负方记0分，先得3分者获胜，比赛结束． (1)求进行3局比赛决出冠亚军的概率； (2)若甲以领先乙时，记表示比赛结束时还需要进行的局数，求的分布列及数学期望． 知识点03 离散型随机变量的均值的性质 设X的分布列为． 一般地，下面的结论成立：． 【即学即练3】（2024·高二·江苏·课时练习）随机变量的概率分布为 1 2 4 0.4 0.3 0.3 则等于（    ） A．11 B．15 C．35 D．39 知识点04 离散型随机变量的方差、标准差 正确求解随机变量的方差的关键是正确求解分布列及其期望值 设离散型随机变量X的分布列为 … … … … 考虑所有可能取值与的偏差的平方，因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值的偏离程度，我们称 为随机变量的方差，有时也记为，并称为随机变量的标准差，记为． 【即学即练4】（2024·高二·全国·课时练习）若p为非负实数，随机变量的分布列如下表，则的最大值为 ，Dξ的最大值为 ． 0 1 2 知识点05 n次独立重复试验 1、定义 一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验． 注意：独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生． 2、特点 （1）每次试验中，事件发生的概率是相同的； （2）每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例． 【即学即练5】爱，在民间经常开展各种乒乓球比赛．现有甲乙二人争夺某次乒乓球比赛的冠军，根据以往比赛记录统计的数据，可以认为在每局比赛中甲胜乙的概率为，若比赛为“五局三胜”制，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了四局的概率为（    ） A． B． C． D． 知识点06 二项分布 1、定义 一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，） 于是得到的分布列 … … … … 由于表中第二行恰好是二项式展开式 各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率． 注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式． 2、二项分布的适用范围及本质 （1）适用范围： ①各次试验中的事件是相互独立的； ②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生； ③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数． （2）本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的． 3、二项分布的期望、方差 若，则，． 【即学即练6】（2024·全国·模拟预测）中医药学是中国古代科学的瑰宝，也是打开中华文明宝库的钥匙.为了调