重难培优01 平面向量的最值范围及四心问题-2023-2024学年高一数学考点剖析及精准练习（人教A版2019必修第二册）

重难培优01 平面向量的最值范围及四心问题 平面向量求最值范围的常用方法： 1.定义法：先利用数量积的概念及其运算律转化所求问题，再运用基本不等式或二次函数性质求其最值问题 2.基底法：利用基底转化向量，然后根据向量运算律化简目标，接着运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 3.坐标法：先根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标，将平面向量的运算坐标化，然后运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 4.数形结合法：结合条件进行向量关系推导，然后利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹，结合图形,确定临界位置的动态分析求出范围。 题型一 向量数量积的最值范围 1．平面向量，，满足，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．已知是半径为2的圆上的三个动点，弦所对的圆心角为，则的最大值为（    ） A．6 B．3 C． D． 3．在中，点是边的中点，且，点满足（），则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在四边形中，已知，，，点在边上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．在梯形中，分别为线段和线段上的动点，且，则的取值范围为 ． 6．如图，在四边形中，已知，点在边上，则的最小值为 . 题型二 向量夹角的最值范围 7．已知△ABC的面积为S满足，且·＝3，与的夹角为θ.求与夹角的取值范围． 8．在梯形中，，且，，分别为线段和的中点，若，，用，表示 ．若，则余弦值的最小值为 ． 9．已知O为的外心，且．若向量在向量上的投影向量为，其中，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．已知是平面向量，满足，且，记与的夹角为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 11．已知为△边上的中线，点满足且，则的最小值为 . 题型三 向量模长的最值范围 12．已知平面向量，，其中，，的夹角是，若为任意实数，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 13．如图，在等腰梯形中，. 点在线段上运动，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 14．已知平面向量，满足，与的夹角为120°，记，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．在四边形中，点E为AD的中点，点F为BC的中点，且，若>0，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．已知向量共面，且均为单位向量，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 17．线段AB的端点分别在x，y的正半轴上移动，如图，∠ABC＝30°，＝0，，若点D为AB中点，则的取值范围是 ． 题型四 系数关系的最值范围 18．在正六边形中，点是内（包括边界）的一个动点，设，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．在正方形中，动点从点出发，经过，，到达，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．在直角中，，，为边上的点，若，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 21．在正六边形中，点为线段（含端点）上的动点，若（，），则的取值范围是 ． 题型五 重心问题 22．已知为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过的（    ） A．内心 B．垂心 C．重心 D．边的中点 23．已知为的边上的中线，O为的重心且，．则 ． 24．已知所在平面内的动点M满足，且实数x，y形成的向量与向量共线，则动点M的轨迹必经过的 心.（在重心、内心、外心、垂心中选择） 25．设O为的重心，M为所在平面内任意一点，则（    ） A． B． C． D． 26．在中，，，且，，则点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心 27．已知是的重心，若，，则的最小值是（    ） A．4 B．2 C． D． 重心向量式:设是的重心,为平面内任意一点,则有 ①;② ③若,则动点的轨迹经过三角形的重心 ④若,则动点的轨迹经过三角形的重心 题型六 垂心问题 28．已知H为的垂心，若，则（    ） A． B． C． D． 29．设是所在平面内的一点，且，试判断是的垂心. 30．已知点O为△ABC所在平面内一点，且，则O一定为△ABC的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 31．已知的外接圆的的圆心是M，若，则P是的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 32．已知点是所在平面内一点，且满足，则直线必经过的 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 垂心向量式：若是的垂心,为平面内任意一点,则有: ①;② ③,则动点的轨迹通