6.3.1 二项式定理-2023-2024学年高二数学教材配套教学精品课件（人教A版2019选择性必修第三册)

人教A版2019选修第三册 第 六 章 计数原理 6.3.1 二项式定理 1.能用计数原理证明二项式定理； 2.掌握二项式定理及其二项展开式的通项； 3.能解决与二项式定理有关的简单问题． 教学目标 01情境导入 PART.01 情境导入 数学趣题 (1)今天是星期一，那么7天后的这一天是星期几呢? (2)如果是15天后的这一天呢？ (3)如果是天后的这一天呢？ 二项式定理 PART.02 概念讲解 探究：我们知道， (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3. (1) 观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律? (2) 根据你发现的规律，你能写出(a＋b)4的展开式吗? (3) 进一步地，你能写出(a＋b)n的展开式吗? 概念讲解 我们先来分析(a＋b)2的展开过程，根据多项式乘法法则， 可以看到，是2个相乘，只要从一个中选一项（选或），再从另一个中选一项（选或），相乘就得到展开式的一项，于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，的展开式共有=项，而且每一项都是（ =0,1,2）的形式. 选2个b 概念讲解 (a+b)2 (a+b)3 =a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = a2 + 2ab + b2 (a+b)4 =(a+b)(a+b) =(a+b)(a+b)(a+b) =(a+b)(a+b)(a+b)(a+b) 展开方式：从每个(a+b)中选一个数a或b，相乘后得到一项 = a4 +__a3b + __a2b2 + __ab3 + b4 4 6 4 选0个b 选1个b 选2个b 选0个b 选1个b 选3个b 选2个b 选0个b 选1个b 选3个b 选4个b 概念讲解 公式 <m></m> 叫作二项式定理. 定义 展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有______项． 二项式系数：各项的系数____ (k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数． n＋1 概念讲解 二项式定理形式上的特点 (1)二项展开式有n+1项,而不是n项. (2)二项式系数都是(k=0,1,2,…,n),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等. (3)二项展开式中的二项式系数的和等于2n,即. (4)在排列方式上,按照字母a的降幂排列,从第一项起,次数由n次逐项减少1次直到0次,同时字母b按升幂排列,次数由0次逐项增加1次直到n次. (5) 二项式定理对任意的数a, b都成立，若设a＝1, b＝x，则有 概念辨析 × × × √ 概念辨析 例题剖析 例1.求的展开式. 解：根据二项式定理 + 例题剖析 例题剖析 二项式定理的双向功能 (1)正用：将(a＋b)n展开，得到一个多项式，即二项式定理从左到右使用是展开．对较复杂的式子，先化简再用二项式定理展开． (2)逆用：将展开式合并成(a＋b)n的形式，即二项式定理从右到左使用是合并，对于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律． 反思感悟 归纳总结 二项展开式的通项 PART.04 概念讲解 公式 <m></m> 叫作二项式定理. 式中</m> 叫作二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即通项为展开式的第k＋1项： Tk＋1=</m> 定义 例题剖析 例2.（1）求的展开式的第4项的系数； （2）求的展开式中的系数. 解：的展开式的第4项是 因此,展开式第4项的系数是280. 例题剖析 （2） 的展开式的通项是 根据题意，得 ，因此，的系数是 反思感悟 归纳总结 二项式系数与项的系数的求解策略 例题剖析 例题剖析 例3.已知在 <m></m> 的展开式中，第6项为常数项. （1）求 <m></m> 的值； （2）求含 <m></m> 的项的系数； （3）求第4项的二项式系数及第4项的系数； （4）求展开式中所有的有理项. 例题剖析 解：（1）通项为 <m></m> <