4.3 二倍角的三角函数公式-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修(第二册)（北师大版）

§3　二倍角的三角函数公式 　　前面我们已经学了六个公式:Cα+β,Cα-β,Sα+β,Sα-β,Tα+β,Tα-β(其中α,β是使式子有意义的任意角),这样就构成了完整的和、差角的三角函数公式组,使得三角函数运算中许多问题得以解决。在公式Sα+β,Cα+β,Tα+β中,若α=β会出现什么结果呢? 1.能从两角差的余弦公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系。 2.掌握半角公式的推导。 1.二倍角公式 sin 2α=2sin αcos α;(S2α) cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;(C2α) tan 2α=。(T2α) 2.半角公式 sin=±;cos=±; tan=±==。 3.倍角(半角)公式的常见变形 (1)sin2α=;cos2α=; sin αcos α=sin 2α。 (2)1+cos α=2cos2;1-cos α=2sin2; 1+sin α=sin+cos2; 1-sin α=sin-cos2。 微提醒 对“二倍角”应该有更广义的理解,不局限于2α是α的二倍形式,其他如4α是2α的二倍、是的二倍、3α是的二倍等,这里蕴含着换元思想,这就是说,“倍”是相对而言的,描述了两个数量之间的关系。 微思考 1.这些三角函数公式中α是任意角吗? 提示:对于公式S2α,C2α中的角α是任意角,但是T2α中的角α要保证tan α有意义且分母1-tan2α≠0。公式,对α∈R都成立,但公式要求α≠(2k+1)π(k∈Z)。 2.半角公式是由以前学习过的哪些公式推导来的?如何推导的? 提示:二倍角的余弦公式。推导如下:在二倍角公式cos 2α=1-2sin2α=2cos2α-1中,以α代替2α,以代替α,即得cos α=1-2sin2=2cos2-1。所以sin2=,cos2=,tan2=。开方可得半角公式。 　 类型一　给角求值 　　【例1】　求下列各式的值: (1)sincos; (2)1-2sin2750°; (3); (4)cos 20°cos 40°cos 80°。 解　(1)原式===。 (2)原式=cos(2×750°)=cos 1 500°=cos(4×360°+60°)=cos 60°=。 (3)原式=tan(2×150°)=tan 300°=tan(360°-60°)=-tan 60°=-。 (4)原式=====。 　　对于给角求值问题,一般有两类:(1)直接正用或逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知角进行转化,一般可以化为特殊角。(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式 【变式训练】　求下列各式的值: (1); (2); (3)coscosπcosπ; (4)tan。 解　(1)原式=cos2-sin2=cos=。 (2)原式=tan 150°=-tan 30°=-。 (3)原式======-。 (4)原式===2-。 类型二　给值求值 　　【例2】　已知sin=,0<x<,求的值。 解　因为0<x<,所以-x∈。又sin=,所以cos=。因为cos 2x=sin=2sincos-x=2××=,cos=sin =sin=,所以原式==。 　　解决给值求值问题,要注意寻找已知式与未知式之间的联系,有两个观察方向:(1)有方向地将已知式或未知式化简,使关系明朗化;(2)寻找角之间的关系,看是否适合相关公式的使用,注意常见角的变换和角之间的二倍关系 【变式训练】　(1)已知sin α=,α∈,则cos的值为 (　　) A. B. C. D. 解析　因为sin α=,α∈,所以cos α==,所以sin 2α=2sin αcos α=2××=,cos 2α=1-2sin2α=1-2×=。所以cos=cos 2α-sin 2α=×-×=。故选A。 答案　A (2)设α是第二象限角,tan α=-,且sin<cos,则cos=　　　　。  解析　因为α是第二象限角,所以可能在第一或第三象限。又sin<cos,所以为第三象限角,所以cos<0。因为tan α=-,所以cos α=-,所以cos=-=-。 答案　- 类型三　二倍角公式的综合应用 　　【例3】　已知函数f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1(x∈R)。 (1)求函数f(x)的最小正周期及在区间0,上的最大值和最小值; (2)若f(x0)=,x0∈,,求cos 2x0的值。 解　(1)因为f(x)=(2sin xcos x)+(2cos2x-1)=sin 2x+cos 2x=2sin2x+,所以函数f(x)的最小正周期为π