课时达标检测(32) 直线与平面垂直的判定-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版）

课时达标检测(三十二)　直线与平面垂直的判定 基础达标 一、单项选择题 1.已知m和n是两条不同的直线,α和β是两个不重合的平面,那么下面给出的条件中,一定能推出m⊥β的是(B) A.α∥β,且m⊂α B.m∥n,且n⊥β C.m⊥n,且n⊂β D.m⊥n,且n∥β 解析　在A中,由α∥β,且m⊂α,知m∥β;在B中,由n⊥β,知n垂直于平面β内的任意直线,再由m∥n,知m也垂直于β内的任意直线,所以m⊥β,B符合题意;在C,D中,m⊂β或m∥β或m与β相交都有可能被推出,不符合题意。 2.若两条不同的直线与同一平面所成的角相等,则这两条直线(D) A.平行 B.相交 C.异面 D.以上皆有可能 解析　在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,A1A,B1B与底面ABCD所成的角相等,此时两直线平行;A1B1,B1C1与底面ABCD所成的角相等,此时两直线相交;A1B1,BC与底面ABCD所成的角相等,此时两直线异面。故选D。 3.如图,将一张三角形纸片沿着BC边上的高AD翻折后竖立在桌面上,则折痕AD所在直线与桌面α所成的角等于(C) A.150° B.135° C.90° D.60° 解析　依题意可知AD⊥BD,AD⊥CD,BD∩CD=D,所以AD⊥平面α,所以折痕AD所在直线与桌面α所成的角等于90°。故选C。 4.如图,在棱长为2的正方体ABCD􀆼A1B1C1D1中,E是AD的中点,F 是BB1的中点,则直线EF 与平面ABCD所成的角的正切值为(D) A.2 B.1 C. D. 解析　连接EB,由BB1⊥平面ABCD,知∠F EB即为直线EF 与平面ABCD所成的角。在Rt△F BE中,BF =1,BE=,则tan∠F EB===。故选D。 5.P是△ABC所在平面α外一点,且PA=PB=PC,则PA,PB,PC与α所成的角(A) A.都相等 B.都不相等 C.有且只有两个相等 D.大小不确定 解析　设P在平面ABC内的射影为O,因为PA=PB=PC,所以△PAO≌△PBO≌△PCO。所以∠PAO=∠PBO=∠PCO。 6.如图,在正方体ABCD􀆼A1B1C1D1中,与AD1垂直的平面是(B) A.平面DD1C1C B.平面A1DB1 C.平面A1B1C1D1 D.平面A1DB 解析　因为AD1⊥A1D,AD1⊥A1B1,A1D∩A1B1=A1,A1D,A1B1⊂平面A1DB1,所以AD1⊥平面A1DB1。 二、多项选择题 7.下列说法中,正确的是(BCD) A.如果一条直线垂直于平面内的四条直线,那么这条直线和这个平面垂直 B.过直线l外一点P,有且仅有一个平面与l垂直 C.如果三条共点直线两两垂直,那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面 D.过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内 解析　A不正确,其他三项均正确。 8.如图,在三棱锥P􀆼ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=AB,D为PB的中点,则下列判断正确的是(ABC) A.BC⊥平面PAB B.AD⊥PC C.AD⊥平面PBC D.PB⊥平面ADC 解析　因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC,又AB⊥BC,AB∩PA=A,所以BC⊥平面PAB,故A正确;由BC⊥平面PAB,得BC⊥AD,因为PA=AB,D为PB的中点,所以AD⊥PB,PB∩BC=B,从而AD⊥平面PBC,故C正确;因为PC⊂平面PBC,所以AD⊥PC,故B正确;在平面PBC中,PB⊥BC,所以PB与CD不垂直,所以PB不垂直于平面ADC,故D不正确。 三、填空题 9.在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面ABC,PA=8,则P到BC的距离是 4 。  解析　如图所示,作PD⊥BC于点D,连接AD。因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC。又PD∩PA=P,所以CB⊥平面PAD,所以AD⊥BC。在△ACD中,AC=5,CD=3,所以AD=4。在Rt△PAD中,PA=8,AD=4,所以PD==4。即P到BC的距离为4。 10.等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内,若AC与α所成的角为30°,则斜边上的中线CM与α所成的角为 45° 。  解析　如图,设C在平面α内的射影为O点,连接AO,MO,则∠CAO=30°,∠CMO就是CM与α所成的角。设AC=BC=1,则AB=,所以CM=,CO=。所以sin∠CMO==,所以∠CMO=45°。 11.如图,在三棱柱ABC􀆼A'B'C'中,底面ABC是正三角形,AA'⊥底面ABC,且AB=1,AA'=2,则直线BC'与平面ABB'A'所成角的正弦值为  。  解析　如图所示,取A'B'的中点D,连接C'D,BD。因为底面△A'B'C'是正三角形,所以C'D⊥A'B'。因为AA'⊥底面ABC,所以A'A⊥C'