8.6.2 第2课时 直线与平面垂直的性质-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版）

第2课时　直线与平面垂直的性质 1.直线与平面垂直的性质定理 文字表述 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号表示 ⇒a∥b 图示 作用 ①线面垂直⇒线线平行,②作平行线 2.直线与平面的距离 一条直线与一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做这条直线到这个平面的距离。 3.平面与平面的距离 如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等,我们把它叫做这两个平行平面间的距离。 微思考 1.过一点可作几条直线与已知平面垂直? 提示:有且只有一条。 2.如果一条直线与一个平面平行,在直线上任意取几个点,这些点到这个平面的距离相等吗? 提示:相等。 类型一 直线与平面垂直性质的应用 　　【例1】　如图所示,在正方体ABCD􀆼A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC。求证:MN∥AD1。 证明　因为四边形ADD1A1为正方形, 所以AD1⊥A1D。 又因为CD⊥平面ADD1A1,所以CD⊥AD1。 因为A1D∩CD=D,所以AD1⊥平面A1DC。 又因为MN⊥平面A1DC,所以MN∥AD1。 证明线线平行常有如下方法:(1)利用线线平行定义:证共面且无公共点;(2)利用三线平行基本事实:证两线同时平行于第三条直线;(3)利用线面平行的性质定理:把证线线平行转化为证线面平行;(4)利用线面垂直的性质定理:把证线线平行转化为证线面垂直;(5)利用面面平行的性质定理:把证线线平行转化为证面面平行。 【变式训练】　如图,已知平面α∩平面β=l,EA⊥α,垂足为A,EB⊥β,垂足为B,直线a⊂β,a⊥AB。求证:a∥l。 证明　因为EA⊥α,α∩β=l,即l⊂α,所以l⊥EA。 同理l⊥EB。又EA∩EB=E,所以l⊥平面EAB。 因为EB⊥β,a⊂β,所以EB⊥a, 又a⊥AB,EB∩AB=B。 所以a⊥平面EAB。 由线面垂直的性质定理,得a∥l。 类型二 距离问题 　　命题方向1:点面距离问题 　　【例2】　已知△ABC,AC=BC=1,AB=,又已知S是△ABC所在平面外一点,SA=SB=2,SC=,点P是SC的中点,求点P到平面ABC的距离。 解　如图所示,连接PA,PB。易知△SAC,△ACB是直角三角形,所以SA⊥AC,BC⊥AC。 取AB,AC的中点E,F ,连接PF ,EF ,PE,则EF ∥BC,PF ∥SA。 所以EF ⊥AC,PF ⊥AC。 因为PF ∩EF =F ,所以AC⊥平面PEF 。 又PE⊂平面PEF ,所以PE⊥AC。 易证△SAC≌△SBC。因为P是SC的中点,所以PA=PB。 而E是AB的中点,所以PE⊥AB。 因为AB∩AC=A,所以PE⊥平面ABC。 从而PE的长就是点P到平面ABC的距离。 在Rt△AEP中,AP=SC=,AE=AB=, 所以PE===, 即点P到平面ABC的距离为。 求点到平面的距离的两种方法:(1)构造法:根据定义构造垂直于面的直线,确定垂足位置,将所求线段化归到三角形中求解。(2)等积变换法:将所求距离看作某个几何体(多为棱锥)的高,利用体积相等建立方程求解。 【变式训练】　已知∠ACB=90°,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到∠ACB两边AC,BC的距离均为,那么点P到平面ABC的距离为  。  解析　如图,过点P作PO⊥平面ABC于点O,则PO为点P到平面ABC的距离。再过点O作OE⊥AC于点E,OF ⊥BC于点F ,连接PC,PE,PF ,则PE⊥AC,PF ⊥BC。又PE=PF =,所以OE=OF ,所以CO为∠ACB的平分线,即∠ACO=45°。在Rt△PEC中,PC=2,PE=,所以CE=1,所以OE=1,所以PO===。 　　命题方向2:线面、面面距离问题 【例3】　(1)如图,在棱长为1的正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E,F 分别为棱AA1,BB1的中点,则A1B1到平面D1EF 的距离是  。  解析　因为E,F 分别为棱AA1,BB1的中点,所以A1B1∥EF ,所以A1B1∥平面D1EF ,所以A1B1到平面D1EF 的距离即为A1到平面D1EF 的距离。作A1G⊥ED1,由已知可得EF ⊥平面 A1ADD1,所以EF ⊥A1G,又EF ∩ED1=E,所以A1G⊥平面D1EF ,A1G=为点A1到平面D1EF 的距离,即A1B1到平面D1EF 的距离是。 (2)已知正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为,则平面AB1D1到平面BC1D的距离为(C) A. B. C. D. 解析　因为两平面平行,所以原问题等价于求解点C1到平面AB1D1的距离h,由等体积法可得=,即h·××22×sin 60°=××××,解得h=,即平面AB1D1到平面