1.5数学归纳法课件-2023-2024学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

1.5 数学归纳法 1.了解数学归纳法的原理；（数学抽象) 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.（数学运算） 学习目标 重点： 难点： 数学归纳法的原理和数学归纳法的证题步骤。 数学归纳法中递推思想的理解。 对于这类与正整数有关的命题，怎样证明它们对每一个正整数都成立呢? 本节我们就来介绍一种重要的证明方法: 数学归纳法 课程导入 在数列的学习过程中，我们得到过一些公式： 等差数列的通项公式 等差数列的求和公式 等比数列的通项公式 等比数列的求和公式 数学归纳法原理 问题探究 猜想=1（）. 当=1，，当=2，，当=3， 已知数列 {}满足=1，()，计算,,,猜想其通项公式，并证明你的猜想. 问题探究 如何证明这个猜想呢？ 我们自然会想到从开始一个个往下验证. 一般来说，与正整数有关的命题，当比较小时可以逐个验证，但当较大时，验证起来会很麻烦， 特别是证明取所有正整数都成立的命题时，逐一验证是不可能的。因此，我们需要另辟蹊径，寻求一种方法: 通过有限个步骤的推理，证明取所有正整数时命题都成立. 问题探究 我们先从多米诺骨牌游戏说起. 这样，只要推倒第1块骨牌，就可导致第2块骨牌倒下:而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒下;….总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下. 多米诺骨牌是一种由木头、骨头或塑料制成的长方体骨牌。多米诺骨牌按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次倒下。 问题探究 可以看出，使所有骨牌全部倒下的条件有两个： ①第一块骨牌倒下; 在这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么? ②前一块倒下要能推倒其后相邻的一块. 问题探究 我们先回顾一下猜想的获得过程: 你认为证明前面的猜想“数列的通项公式是=1（）” 与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗?你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗? =1 由=1及递推关系 =1 由=1及递推关系 =1 由=1及递推关系 =1.... 问题探究 我们发现，上述过程蕴含着一个与多米诺骨牌游戏的条件②类似的递推结构: =1 由=1及递推关系 =1 即当时，猜想也成立. 它相当于命题:当=时猜想成立，则=+1时猜想也成立 事实上，如果时猜想成立，即=1，那么 （1）第一张骨牌必须能倒下 （2）假设第k（k≥1）张能倒下 时，一定能推倒紧挨着它的 第k+1张骨牌 （游戏开始的基础） （游戏继续的条件） 能够使骨牌全部倒下的条件： 类似地，把关于正整数n的命题 看作多米诺骨牌，产生一种符合 运行条件的方法： （归纳奠基） （归纳递推） 由（1）（2）知，骨牌可以 全部倒下。 由（1）（2）知，命题对于一切 n≥的正整数n都正确。 问题探究 问题探究 一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行: (1) (归纳奠基)证明：当 (2) (归纳递推)假设当时命题成立，证明当时，命题也成立. 根据（1）（2）可以断定命题对一切开始的正整数都成立. 数学归纳法 数学归纳法的应用 例1:用数学归纳法证明：首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和公式为 例题解析 例题解析 例2:已知数列{}满足 ，，试猜想数列{}的通项公式，并用数学归纳法证明. 解：由 ，a1=0，得 猜想 用数学归纳法证明这个猜想： （1）当 n =1时，左边=a1= 0，右边= ，等式成立； （2）假设当 n = k (k≥1) 时，等式成立，即 成立. 那么，当n=k+1时， 这就是说，当n=k+1时等式也成立. 根据（1）和（2），可知猜想 对于任意正整数n都成立. 例题解析 例题解析 例2:已知数列{}满足 ，，试猜想数列{}的通项公式，并用数学归纳法证明. 用数学归纳法证明：（1+α）n≥1+nα（其中α＞-1，n∈N+）. 巩固提升 用数学归纳法证明 证明： （1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立． （2）假设当 时，等式成立，就是 那么 这就是说，当n=k+1时，等式也成立． 由（1）和（2），可知等式对任何 都成立． 变式练习 数学归纳法的一般步骤： 假设当n = k ( ,k ≥ n0) 时命题成立，证明n=k+1时命题也成立. 验