第11章 三角形 知识点归纳与整理 2023—2024学年人教版数学八年级上册

11.1 与三角形有关的线段 知识架构 第一节 三角形的边 知识要点 1、 三角形的相关概念 1. 三角形的定义：由三条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形叫做三角形． 2. 三角形的分类： 三角形（按角分）：①直角三角形；②斜三角形：锐角三角形，钝角三角形； 三角形（按边分）：①不等边三角形；②等腰三角形：等腰不等边三角形，等边三角形； 3. 三角形的稳定性：如果三角形的三条边固定，那么三角形的大小和形状就可以完全确定，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性． 稳定 不稳定 2、 三角形的三边关系 1. 三角形两边之和大于第三边 （1） 三角形任意两边之和大于第三边，即有a＋b＞c，b＋c＞a，a＋c＞b三个不等式同时成立． （2） 判断三条线段能否构成三角形时，可以用两条较短线段之和与较长线段作比较，大于则成立，小于则不成立． 2. 三角形两边之差小于第三边 （1） 三角形任意两边之差小于第三边； （2） 三角形任意一边大于其他两边之差，小于其他两边之和． 典例分析 题型一 三角形的相关概念 例1 如图，以AD为边的三角形有___________________；以∠C为一个内角的三角形____________________；△AED的三个内角分别是____________________． 例2 下列说法中，正确的有______________________ ①等腰三角形是等边三角形； ②三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形； ③等腰三角形至少有两边相等 ④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形 例3 下列图形具有稳定性的是（ ） A．正方形 B．矩形 C．平行四边形 D．直角三角形 【跟踪练习】 1. 如图，在△ABC中，∠A的对边是_______；在△ABD中∠A的对边是_________． 2. △ABC的三边长分别为a，b，c，且满足，则△ABC的形状为（ ） A．不等边三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形 3. 不是利用三角形稳定性的是（ ） A．自行车的三角形车架 B．三角形的房架 C．照相机的三脚架 D．学校的栅栏门 题型二 三角形的三边关系 例4 下列各组线段能构成三角形的是（ ） A．2，2，4 B．3，4，5 C．1，2，3 D．2，3，6 例5 下列线段能构成三角形的有哪些？ （1）6cm，8cm，10cm； （2）5cm，8cm，2cm； （3）三条线段之比为4 : 5 : 6； （4）a＋1，a＋2，a＋3（a＞0）． 例6 用一条长为21cm的细绳围成一个等腰三角形． （1） 如果腰长是底边长的3倍，那么底边长是多少？ （2） 能围成一边长5cm的等腰三角形吗？说明理由． 例7 如图，点D在△ABC中，请判断△BDC和△ABC的周长大小，并证明． 【跟踪练习】 1. 已知三角形的两边长分别是3和8，则该三角形第三边的长可能是（ ） A．5 B．10 C．11 D．12 2. 已知等腰三角形的边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为__________． 3. 长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（ ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 4. 已知三角形三边长分别为3，1－2a，8，求a的取值范围． 5. 如图，已知点D、E都在△ABC中，请判断△ABC和四边形BDEC的周长大小，并证明． 第二节 三角形的重要线段 知识要点 1、 三角形的中线 1. 中线的定义：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线； 2. 重心的定义：每个三角形都有三条中线，且相交于一点，这个点叫做三角形的重心，而且它一定在三角形的内部； 3. 中线的性质：一条中线把三角形的面积平分． 重心 中点 2、 三角形的高线 1. 高线的定义：三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线． 2. 垂心的定义：每个三角形都有三条高且三条高所在的直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心； 3. 注意：①锐角三角形的高均在三角形的内部，三条高的交点也在三角形的内部；②钝角三角形的高线中，有两个垂足落在边的延长线上，这两条高落在三角形的外部；③直角三角形有两条高分别与两条直角边重合．反之也成立． 3、 三角形的角平分线 1. 定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线． 2. 内心的定义（拓展）：每个三角形都有三条角平分线且相交于一点，这个点叫做三角形的内心，而且它一定在三角形