7.3 离散型随机变量的数字特征- 2023-2024学年高二数学下学期重点题型方法与技巧（人教A版2019选择性必修第三册）

离散型随机变量的数字特征 1 离散随机变量的均值(数学期望) 概念 一般地，随机变量的概率分布列为 则称 为的数学期望或均值，简称为期望. 它是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，反映了离散型随机变量取值的平均水平. 若 ，其中为常数，则也是变量 则，即(利用期望的概念可以证明) 一般地，如果随机变量服从两点分布，那么 即若服从两点分布，则 2 离散型随机变量取值的方差和标准差 (1)一般地,若离散型随机变量x的概率分布列为 则称 为随机变量的方差，有时候也记为，并称为随机变量的标准差，记为。 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差越小，随机变量的取值越集中；方差越大，随机变量的取值越分散. 一般地，.(可用方差的概念证明) 证明 【题型1】 期望和方差的概念 【典题1】 已知随机变量的分布列如表所示: 0 1 2 若，则 A. B. C. D. 【典题2】(多选)已知随机变量的分布列为 1 2 3 当增大时， ( ) A. 减小 B. 增大 C. 减小 D. 增大 【巩固练习】 1.(★)设随机变量的分布列如表所示，则下列选项中错误的为( ) 0 1 2 3 A. B. C. D. 2.(★) (多选)投资甲，乙两种股票，每股收益的分布列分别如表 1 和表 2 所示， 表 1. 股票甲收益的分布列 收益 元 -1 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 表 2. 股票乙收益的分布列 收益 元 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 则下列结论中正确的是 ( ) A. 投资股票甲的期望收益较小 B. 投资股票乙的期望收益较小 C. 投资股票甲比投资股票乙的风险高 D. 投资股票乙比投资股票甲的风险高 3.(★★)某高二学生在参加物理、历史反向学考中，成绩是否取得等级相互独立， 记为“该学生取得等级的学考科目数”，其分布列如下表所示，则的最大值是 ( ) 0 1 2 A. B. C. D. 4.(★★)随机变量的分布列如表: 0 则当取最大值时， A. B. C. 1 D. 5.(★★)设， 已知随机变量的分布列如下表，则下列结论正确的是 ( ) 0 1 2 A. B. 的值最大 C. 随着 的增大而增大 D. 当时， 6.(★★★)设， 随机变量取值 的概率均为0.2 ， 随机变量取值 的概率也均为， 若记分别为的方差，则 A. B. C. D. 的大小关系与的取值有关 7.(★★★)设离散型随机变量的期望和方差分别为 和 ， 且，则( ) A. B. C. D. 和 大小不确定 【题型2】 期望和方差的性质 【典题1】 设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 0.4 0.1 0.2 0.2 若离散型随机变量满足，则下列结论中正确的是 ( ) A. B. C. D. 【巩固练习】 1.(★) 随机变量的分布列如表，则等于 0 2 4 0.3 0.2 0.5 A. 16 B. 11 C. 2.2 D. 2.3 2.(★★) 设， 若随机变量的分布列如表: -1 0 2 则下列方差值中最大的是 ( ) A. B. C. D. 3.(★★★)(多选)猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名. 某嘉宾参加猜歌名节目， 猜对每首歌曲的歌名相互独立， 猜对三首歌曲 歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金分别是: 猜对歌曲