8 成对数据的统计分析- 2023-2024学年高二数学下学期重点题型方法与技巧（人教A版2019选择性必修第三册）

成对数据的统计分析 1成对数据的统计相关性 ① 相关关系与确定关系 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系. 比如 正方形面积与边长，圆锥的体积与底圆半径等均为确定关系；体重与身高，子女的身高与父亲的身高，空气污染指数与汽车保有量等均为相关关系. ② 正相关与负相关 如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，称这两个变量正相关；从散点图来看，点从左下角往右上角走. 如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现减少的趋势，称这两个变量负相关；从散点图来看，点从左上角往右下角走. 比如脂肪含量与年龄 , 子女的身高与父亲的身高正相关. ③ 线性相关 一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关. 一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关. ④ 样本相关系数 对于变量和变量，设经过随机抽样获得的成对样本数据为，其中和的均值分别为和，则 我们称为变量和变量的样本相关系数. ① 当时，称成对数据正相关；当时，称成对数据负相关. ② 越接近于，两个变量的线性相关性越强； 接近于时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系. ③ 样本相关系数也可以推导得到 2 一元线性回归模型及其应用 ① 一元线性回归模型 用表示父亲身高，表示儿子身高，表示随机误差，假定随机误差的均值为，方差为与父亲身高无关的定值，则它们之间的关系可以表示为 我们称它为关于的一元线性回归模型. ② 线性回归方程 对于变量和变量，设经过随机抽样获得的成对样本数据为，其中和的均值分别为和，其中 我们将称为关于的经验回归方程，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法. 备注 线性回归直线经过定点. ③ 残差分析 通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测量，观测值减去预测值称为残差，残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判定原始数据是否存在可疑数据，这方面的工作称为残差分析. 通过观察残差图可以直观判断模型是否满足一元线性回归模型中对随机误差的假设，那残差应是均值为，方差为的随机变量的观测值. ④ 比较模型的拟合效果 残差平方和 残差平方和越小，拟合效果越好. 相关指数 越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好. 3 列联表与独立性检验 ① 列联表 设为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量变量 通过观察得到右表所示数据： 分类变量 合计 合计 并将形如此表的表格称为列联表． ② 独立性检验 根据列联表中的数据判断两个变量是否独立的问题叫列联表的独立性检验． ③ 的计算公式 若要推断的论述为“有关系”，则的值越大，说明“与有关系”成立的可能性越大. 如下表，若时， 因为，所以有的把握认为与之间有关； 而，所以没有的把握认为与之间有关. ④ 应用独立性检验解决实际问题大致应包括以下几个主要环节 提出零假设:和相互独立，并给出在问题中的解释； 根据抽样数据整理出列联表，计算的值，并与临界值比较； 根据检验规则得出推断结论； 在和不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析和间的影响规律. 【题型1】 成对数据的统计相关系数 【典题1】 下列变量间的关系，不是相关关系的是( ) A. 一块农田的水稻产量与施肥之间的关系 B.正方形的面积与边长之间的关系 C. 商品销售收入与其广告费支出之间的关系 D.人体内的脂肪含量与年龄之间的关系 【典题2】对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( ) 相关系数为 相关系数为 相关系数为相关系数为 A. B. C. D. 【巩固练习】 1.(★) 下列两个变量中，具有相关关系的是( ) (1)球的半径与表面积； (2)农作物的产量与施肥量； (3)学生的数学成绩与物理成绩；(4)人的体重与眼睛近视的度数 A. (1)(2)(3) B. (2)(3) C. (2)(3)(4) D. (1)(4) 2.(★) 在一组样本数据 不全相等 的散点图中，若所有的样本点都在直线 上，则这组样本数据的相关系数为( ) A. 2 B. -