2024年中考数学二轮复习专项训练：存在性问题

中考复习专项训练：存在性问题 　 一．相似三角形存在性 1．如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（﹣3，0），B（﹣1，0），与y轴相交于点C，⊙O1为△ABC的外接圆，交抛物线于另一点D． （1）求抛物线的解析式； （2）求cos∠CAB的值和⊙O1的半径； （3）如图2，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦BD中点，若点N在坐标平面内，满足△BMN∽△BPC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 2．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（5，0）两点，最低点的纵坐标为﹣4，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）如图1，若△ABC的外接圆⊙O1交y轴不同于点C的点D，且CD=AB，求tan∠ACB的值； （3）如图2，设⊙O1的弦DE∥x轴，在x轴上是否存在点F，使△OCF与△CDE相似？若存在，求出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由． 　 　二．直角三角形存在性　 3．如图1，直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点A、点C，经过A、C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为B，顶点P的横坐标为﹣2． （1）求该抛物线的解析式； （2）连接BC，得△ABC．若点D在x轴上，且以点P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似，求出点P的坐标并直接写出此时△PBD外接圆的半径； （3）设直线l：y=x+t，若在直线l上总存在两个不同的点E，使得∠AEB为直角，则t的取值范围是　_________　； （4）点F是抛物线上一动点，若∠AFC为直角，则点F坐标为　_________　． 4．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点（A、B分别在原点左、右两侧），与y轴正半轴交于点C，OB=OC=4OA，△ABC的面积为40． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）若以抛物线上一点P为圆心的圆恰与直线BC相切于点C，求点P的坐标． 5．如图①，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于O、A两点直线y=﹣x+3与y轴交于B点，与该抛物线交于A，D两点，已知点D横坐标为﹣1．（1）求这条抛物线的解析式； （2）如图①，在线段OA上有一动点H（不与O、A重合），过H作x轴的垂线分别交AB于P点，交抛物线于Q点，若x轴把△POQ分成两部分的面积之比为1：2，请求出H点的坐标； （3）如图②，在抛物线上是否存在点C，使△ABC为直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 三.等腰三角形存在性 6．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴相交于点C（0，）．连接AC、BC． （1）则抛物线的对称轴为直线　_________　；抛物线的解析式为　_________　； （2）若点M，N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA，BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t时，连接MN，将△BMN沿MN翻折，B恰好落在AC的P，求t值及点P坐标； （3）抛物线对称轴上是否存在一点F，使得△ACF是等腰三角形？若不存在请说明理由；若存在，请直接写出F点坐标． 四．平行四边形存在性 7．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（4，0）、C（﹣1，5），与y轴相交于点D，直线y=kx+m与抛物线相交于B、C两点，与y轴相交于点E． （1）求抛物线的解析式． （2）求tan∠DCB的值． （3）若点P在直线BC上，该抛物线上是否存在点Q，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由． 　五。最值及面积问题 8．如图，二次函数y=ax2+bx（a＞0）的图象与反比例函数图象相交于点A，B，已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）． ①求实数k的值； ②求二次函数y=ax2+bx（a＞0）的解析式； ③设抛物线与x轴的另一个交点为D，E点为线段OD上的动点（与O，D不能重合），过E点作EF∥OB交BD于F，连接BE，设OE的长为m，△BEF的面积为S，求S于m的函数关系式； ④在③的基础上，试说明S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值，并求出此时E点的坐标；若不存在，说明理由． 　 9．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（1，2）、B（2，1）和C（﹣2，﹣1）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）反比例函数y=的图象的一个分支经过点C，并且另个分支与抛物线在第一象限相交． ①求出k的值； ②反比函数y=的图象是否经过点A和点B，试说明理由； ③若点P（a，b）是反比例函数y=在第三象限的图象上的一个动点，连接AB、PA、PB，