2024年九年级中考数学复习专题：最值问题强化训练

中考复习专项：最值问题 “最值”问题大都归于两类基本模型： Ⅰ、运用代数方法： 1. 运用配方法求二次三项式的最值； 2. 归于函数模型： 即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值 Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为以下情况： 1.归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。 2.归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。 3. 定圆中的所有弦中，直径最长。 一、利用函数模型求最值 例1、如图，一边靠学校院墙，其它三边用40米长的篱笆围成一个矩形花圃ABCD，设AB=x米，由于实际需要矩形的宽只能在4m和7m之间。设花圃面积为y平方米．求y与x之间的函数关系式和y的最值。 例2、如图（1），平行四边形ABCD中，AB=4,BC=3,∠BAD=120°，E为BC上一动点（不与B重合），作EF⊥AB于F，设BE=x，△DEF的面积为S当运动到何处时，S有最大值，最大值为多少？ A B C D E F 例3、如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，∠C=∠F=30°，AB=DE=a。当两三角形沿着直线FC移动时，求图中阴影部分的面积的最大值。 二、运用配方法求二次三项式的最值 例4、求x²-2x+3的最小值 三、利用几何模型求最值 1、定圆中的所有弦中，直径最长。 例5、如图所示，已知AB是⊙O中一条长为4的弦，P是⊙O上一动点，且cos∠APB＝，求△APB的面积的最大值？ 2、归入“两点之间的连线中，线段最短” 思路：不管在什么背景下，有关线段之和最短问题，总是化归到“两点之间的所有连线中，线段最短”，而转化的方法大都是借助于“轴对称点”。口诀：和最小，找对称。 例6、(1)如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（　　） A.2 B.2 C.3 D. (2)如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为___________． 例7、几何模型： 条件：如下左图，、是直线同旁的两个定点． 问题：在直线上确定一点，使的值最小． 方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小（不必证明）． 模型应用： （1）如图1，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点．连结，由正方形对称性可知，与关于直线对称．连结交于，则的最小值是___________． （2）如图2，的半径为2，点在上，，，是上一动点，求的最小值___________． （3）如图3，，是内一点，，分别是上的动点，求周长的最小值___________．A B ′ P l O A B P R Q 图3 O A B C 图2 A B E C P D 图1 P 例8、如图，锐角△ABC的边AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是___________． 3、归于“三角形两边之差小于第三边” 例9、如图（1），直线与轴交于点C，与轴交于点B，点A为轴正半轴上的一点，⊙A经过点B和点，直线BC交⊙A于点D。A D C B （1）求点D的坐标； （2）过，C，D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点， 使线段与之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P的 坐标。若不存在，请说明理由。 4、路径最短问题(两点间连线中，直线段最短) 1.如图，圆柱形的桶外，有一只蚂蚁从桶外的A点爬到桶内的B点处寻找食物，已知点A到桶口的距离AC为12cm，点B到桶口的距离BD为8cm，CD的长为15cm，那么蚂蚁爬行的最短路程是___________． 2.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是___________． 3.如图是一块长、宽、高分别是4cm、2cm和1cm的长方体木块，一只蚂蚁要从顶点A出发，沿长方体的表面爬到C1处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是___________． 4.如图所示，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食．此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是___________米（结果不取近似值）