6.4.3余弦定理、正弦定理的应用举例课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4.3　第3课时　余弦定理、正弦定理应用举例 引入 √ × × √ 角度问题 在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝120°， 所以∠CAD＝30°，则有∠ADC＝∠CAD， 又∠ACB＝75°，所以∠BCD＝45°， 在△BDC中，∠CBD＝180°－(30°＋45°＋45°)＝60°， 在△ABC中，由余弦定理，得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB 练1 一艘船以每小时15 km的速度向正东方向航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°方向上，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°方向上，这时船与灯塔间的距离为________km. 则∠ABC＝45°， AC＝15×4＝60(km)， 根据正弦定理，得 如图所示，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°， 因为∠DAC＝20°，所以∠ADE＝160°， 于是∠ADB＝360°－160°－65°＝135°. 又∠BAD＝35°－20°＝15°，所以∠ABD＝30°. 在△ABD中，由正弦定理， 如图，过点D作DE∥AC交BC于E， 高度问题 ∵∠PBA＋∠PBC＝180°， ∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0.③ 练2 如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，则建筑物的高度为________ m. 设建筑物的高度为h m. 在△PBA和△PBC中，由余弦定理得， 角度问题 例3 北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度(轨道高度是指卫星到地球表面的距离)为h.将地球看作是一个球心O，半径为r的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数.如果地球表面上某一观测点与该卫星在同一条子午线(经线)所在的平面，且在该观测点能直接观测到该卫星.若该观测点的纬度值为α，观测该卫星的仰角为β，则下列关系一定成立的是 √ 由正弦定理可得 练3 一艘海盗船从C处以30 km/h的速度沿着南偏东40°的方向前进，在C点北偏东20°且距离为30 km的A处有一海警船，沿着南偏东10°的方向快速拦截，若要拦截成功，则海警船速度至少为 如图，设在B处两船相遇， 则由题意可得∠ACB＝120°，A＝30°，则B＝30°， △ABC是等腰三角形，则BC＝30， 所以海盗船需1 h到达B处. 在△ABC中，由余弦定理得 √ 随堂小练 1.如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向上，灯塔B在观察站南偏东60°方向上，则灯塔A在灯塔B的 A.北偏东10°方向上 B.北偏西10°方向上 C.南偏东80°方向上 D.南偏西80°方向上 由条件及题图可知，∠BAC＝∠ABC＝40°. 又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°， 所以∠DBA＝10°， 因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°方向上. √ 2.江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距 如图，过炮台顶部A作水平面的垂线，垂足为B， 设A处观测小船C的俯角为45°， A处观测小船D的俯角为30°， 连接BC，BD， 在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，可得BC＝AB＝30 m， 由余弦定理，得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos 30°＝900. ∴CD＝30 m，即两船相距30 m. √ √ 又因为∠CAB为锐角，所以∠CAB＝45°， 4.一架飞机在海拔8 000 m的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸的俯角分别是30°和45°，则这个海岛的宽度为________ m.(精确到0.1 m) 5 856.4 　如图，某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山的长度．工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B，C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC(即线段BC)的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC. 知识梳理 测量中的几个有关术语 术语 名称 术语意义 图形表示 仰角 与俯 角 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方 位 角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方 向 角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 概念理解 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β， 则α，β的关系为α＝β. ( )