第六章 复数（知识考点）-【中职专用】高中数学单元复习讲与测（人教版2021·拓展模块一）

第六章 复数 知识点一：复数的概念和意义 1．复数的有关概念 (1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是，虚部是. (2)虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位． (3)表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)． (4)复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示． 注意：复数概念说明： (1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i. (2)复数的实部是a，虚部是实数b而非bi. (3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式． 2．复数的分类 对于复数a＋bi， (1)当且仅当b＝0时，它是实数； (2)当且仅当a＝b＝0时，它是实数0； (3)当b≠0时，叫做虚数； (4)当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数． 这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：. 注意：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 3．复数相等 在复数集C＝中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)， 我们规定：两个复数相等的充要条件是实部与虚部分别相等。 4．复数的几何意义 (1)复平面 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 ①轴——实轴 ②轴——虚轴 ③实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 (2)复数的几何意义——与点对应 复数的几何意义1：复数复平面内的点 (3)复数的几何意义——与向量对应 复数的几何意义2：复数 平面向量 (4)复数的模 向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离； 特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值). (5)共轭复数 ①定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数. ②表示方法 复数的共轭复数用表示，即如果，则. 知识点二：复数的运算 1．复数代数形式的加法运算及其几何意义 (1)复数的加法法则 设，，（）是任意两个复数，那么它们的和： ，显然，两个复数的和仍然是一个确定的复数. (2)复数加法满足的运算律 对任意，有 交换律： 结合律： (3)复数加法的几何意义 如图，设在复平面内复数，对应的向量分别为，，以，为邻边作平行四边形，则，即：，即对角线表示的向量就是与复数对应的向量.所以：复数的加法可以按照向量的加法来进行. 2．复数代数形式的减法运算及其几何意义 (1)复数的减法法则 类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作 注意：①两个复数的差是一个确定的复数； ②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减. (2)复数减法的几何意义 复数 向量 3．复数代数形式的乘法运算 (1)复数的乘法法则 我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为 ， 即 (2)复数乘法满足的运算律 复数乘法的交换律、结合律、分配律 (交换律) (结合律) (分配律) 4．复数代数形式的除法运算 (1)定义 规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足（，）的复数叫做复数除以复数的商，记作或 (2)复数的除法法则 （） 由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数. 知识点三：实系数一元二次方程的解法 1．根的判定 当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2+bx+c=0称为实系数一元二次方程， (1)当4=b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当4=b2- 4ac=0时，方程有两个相等的实数根； (3)当=b2- 4ac<0时，方程有两个互为共轭的虚数根. 2．根与系数的关系 如果x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的解，那么x1＋x2=-，x1x2=， 3．在复数范围内，实数系方程ax2+bx+c=0的求解方法 (1)求根公式法 ①时， ②<0时， (2)利用复数相等的定义求解，设方程的根为x=m＋ni（m，n∈R），将此代入方程 ax²＋bx＋c=0（a≠0），化简后利用复数相等的定义求解. 考点一 复数的概念和意义 1．下列说法正确的是（   ） A．表示虚数单位，所以它不是一个虚数 B．的平方根是 C．是纯虚数 D．若，则复数没有虚部 2．若复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C． D． 3．若复数，为虚数单位，则（     ） A．1 B．2 C．