第07讲 排列与组合（春季讲义）-2023-2024学年高二数学春季讲义（人教A版2019）

第07讲 排列与组合 【人教A版2019】 ·模块一 排列 ·模块二 组合 ·模块三 课后作业 模块一 排列 1．排列 (1)排列的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列. (2)排列概念的理解 ①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列. ②两个排列相同的条件：元素完全相同；元素的排列顺序也相同. ③定义中“一定的顺序”就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断， 这一点要特别注意. (3)排列的判断 判断一个问题是不是排列问题的关键：判断是否与顺序有关，与顺序有关且是从n个不同的元素中任 取m(mn，n,m∈)个元素的问题就是排列问题，否则就不是排列问题.而检验一个问题是否与顺序有关 的依据就是变换不同元素的位置，看其结果是否有变化，若有变化就与顺序有关，就是排列问题；若没有 变化，就与顺序无关，就不是排列问题. 2．排列数 (1)排列数定义 从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的排列数，用符号表示. (2)排列数公式 =n(n-1)(n-2)(n-m+1).这里，n,m∈，并且mn. (3)排列数公式的理解 ①排列数公式推导的思路：第1步，排第1个位置的元素，有n种排法；第2步，排第2个位置的元 素，有(n-1)种排法；第3步，排第3个位置的元素，有(n-2)种排法；；第m步，排第m个位置的元素，有(n-m+1)种排法.因此，由分步乘法计数原理知共有=n×(n-1)×(n-2)××(n-m+1)种不同的排法. ②排列数公式的特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1，最后一个因数是n-m+1，共有m个因数. 3．排列问题的分类与解法 (1)有限制条件的排列问题：对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在 实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法. (2)相邻问题：对相邻问题采用捆绑法；相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，注意捆绑元素的 内部排列. (3)不相邻问题：不相邻问题采用插空法；先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面 元素排列的空档中. (4)定序问题：定序问题有两种求解策略，一是定序倍除法：全部排列后，除以有顺序要求的排列；二 是定序排他法：有顺序要求部分只有一种排法，只要把剩下部分排列即可. (5)间接法：正面分类太多从反面入手. 【考点1 有关排列数的计算与证明】 【例1.1】（22-23高二下·江苏南通·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（22-23高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（23-24高二·黑龙江牡丹江·单元测试）若，则m的值为（    ） A．5 B．3 C．6 D．7 【变式1.2】（23-24高二·全国·课时练习）如果，那么，分别为（    ） A．15，10 B．15，9 C．15，6 D．16，10 【考点2 排列数方程和不等式的求解】 【例2.1】（23-24高二上·全国·课时练习）已知，求x的值． 【例2.2】（22-23高二上·全国·课时练习）解下列方程或不等式． (1)=2； (2). 【变式2.1】（2023高二·全国·专题练习）解不等式：； 【变式2.2】（23-24高二·全国·课后作业）（1）解不等式：； （2）解方程： 【考点3 全排列问题】 【例3.1】（2024·山东日照·一模）今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行四人决定去看这三部电影，则恰有两人看同一部影片的选择共有（    ） A．9种 B．36种 C．38种 D．45种 【例3.2】（23-24高三下·湖南长沙·开学考试）现有10份不同的食品，其中有2份不合格.每次取出1份进行检测，直到2份不合格的食品全部辨别出为止.若最后1份不合格食品正好在第3次检测时被发现，则前三次不同检测方案的种数为（    ） A．16 B．20 C．28 D．32 【变式3.1】（2023·辽宁·模拟预测）2023年的五一劳动节是疫情后的第一个小长假，公司筹备优秀员工假期免费旅游．除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，淄博烧烤火爆全国，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有（　　） A．1800 B．1080 C．720 D．360 【变式3.2】（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）将甲、