2024年中考数学专题复习 讲义：隐形圆问题

专题一 隐形圆 【点睛】恩，也是一种辅助线。 微专题1四点共圆 【知识储备】 1,圆内接四边形的三条性质（性质2和性质3可互相推导） 性质1：同所对的圆周角相等：如图1， 性质2：圆内接四边形的对角互补：如图2。 性质3：圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角：如图3. 注：圆内接四边形有很多性遁，此处只选取最常用的三条性质， 2.四点共圆的三个判定 判定1：如果共底边的两个三角形项角相等，且在底边的同侧，那么这四个顶点共圆：如图4 判定2：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆：如图5 判定3：如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个项点共圆：如图6 注：暇点共圆还有其他判定方法，此处只进取最常用的三种方法， 【例题精讲】 【例1】如图，⊙O的直轻AB长为12，长度为4的弦DF在半圆上滑动，DE⊥AB于点E,OC⊥DF于点C, 连接CE,则sin∠AEC= 【例2】如图，直线1与反比例函数y=3(x>0)的图象相交于，B两点，其中点A纵坐标与点B横坐标均 为3，点C为线段AB的中点，CD⊥x轴于点D,直线L,经过原点和点C.若直线L上存在点P,使得 ∠APB=∠ADB,则点P的坐标为 【例3】如图1，正方形ABCD中，过点A作∠EAF=90,两边分别交直线BC于点E,交线段CD于点F,G 为AE中点，连按BG。 (1)求证：∠AFD+∠CBG=180°： (2)如图2.过点G作BG的垂线交对角线4C于点H,求证：GH-GB: (3)如图3，连接HF,若CH-3AH,AD=2N10,求线段HF的长， 【素养提升】 1,如图，在等腰RI△ABC中，∠B=90°，AB=BC,点D在边AC上，且CB=CD,在AC上方作DE⊥AC 且DA-DE,点F在边AB上，作∠FCG=45°，边CG交DE于G,点H为FG的中点，在点F的运动过程 中，当AH的最小值为1时，△ABC的面积为 ≤区人 2,如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,点P是AB延长线上一点，连接PC交DB的延长线于点F, 且∠PFB=3∠CAB. (1)求证：PC是⊙0的切线： (2)延长AC,DF相交于点G,连接PG,请探究∠CPG和∠CAB的数量关系，并说明理由： 3)若am∠CB-号CF=5,求O0的率径 3.如图，四边形ABCD是正方形，以DC为边向外作等边△DCE,连接AE交BD于点F,交CD于点G, 点P是线段AE上-动点（点P不与A,E重合），连接DP,BP (1)求∠AFB的度数： (2)在点P从A到E的运动过程中，若DP平分∠CDE,求证：AG·DP=DGBD: (3)已知AD=6,在点P从A到E的运动过程中，若△DBP是直角三角形，求DP的长 4如图1.在△MBC中，MB-AC=20,anB=号，点D为BC边上的动点（点D不与点B,C重合.以D 为项点作∠ADE=∠B,射线DE交AC边于点E,过点A作AF⊥AD交射线DE于点F,连接CF, (I)求证：△ABD∽△DCE: (2)如图2，当DE∥AB时，求AE的长： (3)点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF=CF?若存在，求出此时BD的长：若不 存在，请说明理由， 图 微专题2定义圆 【知识储备】 1、圆的定义 (1)古书《墨经》：“园，一中同长也”(《经上》). (2)教材：到定点的距离等于定长的所有点组成的图形 2、定义圆 在同一平面内，若OA=OB=OC=…,则点A,B.C,都在以O为圆心，OA为半径的圆上：如上图. 【例题精讲】 【例1】如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,点E是AB边的中点，F是线段BC上的一个动点，现将△EBF 沿EF所在直线折叠得到△EB'F,连接B'D,则B'D的最小值是 当∠ADB取得最大值时。 CF的长度为 【例2】如图，在等腰RI△ABC中，∠ABC=90,AB=BC=6,点D在AB上，且AD=2,点E是AC的 中点，点F为BC上一个动点，其中G为DF的中点，当GB=GE时，DF的长为 【例3】(1)如图1，AABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=120°，D,E,C三点在同一条直 线上，连接BD,求证：△ADB≌△AEC: (2)如图2，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，在∠DBC内作射线BM,作点C关于BM的对称点E,连接AE 并延长交BM于点F,连接CE,CF, ①证明△CEF是等边三角形： ②若Sm=√5，点N为AB的中点，请直接写出NF的最大值. 图2 【素养提升】 1.如图，在△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=45°，AB=2,点P从点A出发沿AB方向运动，到达点B时 停止运动，连结CP,点A关于直线CP的对称点为？，连结A"C,AP,在运动过程中，点"到直线A