5.2.1基本初等函数的导数课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

课堂小结 3.利用导数的几何意义解释实际生活问题,体会“数形结合”,“以直代曲”的数学思想方法. 瞬时速度 平均速度 y = f (x) 平均变化率 瞬时变化率 在 x = x0 处 函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数 P0 P o x y y=f(x) 割线 切线 T 几何意义 割线P0P的斜率 切线P0T 的斜率 1. 导数的定义 如果当∆x→0时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作 或 ，即 从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f ′(x0) 是一个唯一确定的数. 这样，当x变化时，y=f ′(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(derived function) ( 简称导数). y=f(x)的导函数有时也记作y′，即 复习引入 2.导数的几何意义 函数y＝f (x)在x＝x0处的导数 f ′(x0)就是切线的斜率，即 3.如何求函数y=f(x)的导数? §5.2　导数的运算 5.2.1　基本初等函数的导数 高中数学人教A版（2019）选择性必修2 5 探究新知 1.函数 y＝f (x)＝c 的导数 即 也就是说任意一个常数的导数是0. 追问：若y=c (如图示)表示路程关于时间的函数，则y′=0的物理意义是什么？ 若y=c表示路程关于时间的函数，则y′=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态. 所以路程保持不变，是关于时间的常值函数. x y O y＝c 2.函数 y＝f (x)＝x 的导数 即 若y=x (如图示)表示路程关于时间的函数，则y′=1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动.可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动. x y y=x O 追问：若y=x (如图示)表示路程关于时间的函数，则y′=1的物理意义是什么？ 3.函数 y＝f (x)＝x2 的导数 即 追问1： y′= 2x的几何意义是什么？ 表示函数y＝x2的图象上点(x, y)处切线的斜率为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化. 另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看， y′= 2x表明：当x<0时，随着x的增加，|y′|越来越小， y＝x2减少得越来越慢；当x>0时，随着x的增加， |y′|越来越大， y＝x2增加得越来越快. 追问2：若表示路程关于时间的函数，则的物理意义是什么？ 某物体做变速直线运动， 它在时刻x的瞬时速度为2x. 4.函数 y＝f (x)＝x3 的导数 追问1：还有没有其它得到 的方法？ 即 追问2：y′＝3x2的几何意义是什么？ x y O y＝x3 y′＝3x2表示函数y＝x3的图像上的点(x, y)处切线的斜率为3x2,这说明随x的变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数. 追问3：随着x的变化，函数y=x3的导数y′＝3x2也在变化，导数随x的变化反映出了函数y=x3怎样的变化？ 当x>0时，随着x的增加，|y′|越来越大，y=x3增增加得越来越快；当x<0时，随着x的增加，|y′|越来越小，y=x3增加得越来越慢. 从导函数的非负性来看，除x=0时函数的导数为0外，函数的导数恒为正，因此函数在定义域上恒为增函数. x y O y＝x3 两个图，一个题中原图，一个简化图 两个问题， 如何建系？ 追问：怎么补全椭圆（因为求的是椭圆的方程，因此要补全）？，怎么建系并文字表述（练书写表达）？ 如何求方程？（求方程的流程） 先根据焦点所在轴设出椭圆标准方程， 选择字母ab的求解方法，（重点在这个步骤，方法有什么？） 计算得方程 方法1：再根据题中条件的分析，凑全椭圆的几何要素， （方法2：也可以用待定系数法） 通过对比结合题目信息寻找最优法 //重点说清楚，要点加强 5.函数 y＝f (x)＝ 的导数 x 1 — 追问1: 画出函数 的图象. 根据函数 的图象，结合函数的导数，描述它的变化情况. 结合函数图象及其导数 发现，当x<0时，随着x的增加，函数 减少得越来越快；当x>0时，随着x的增加，函数 减少得越来越慢. 追问2：求出曲线在点(1,1)处的切线方程. x+y-2=0 即 11 6.函数 y＝f (x)＝ 的导数 O x y 即 追问1：该函数的定义域及其导数的定义域是否一样？ 不一样， 原函数的定义域为{x|x ≥ 0