5.1.2导数的概念及几何意义课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

求函数在某点处的切线方程的步骤： 回顾 物理问题： 跳水运动员起跳后的速度问题 几何问题： 抛物线的切线斜率问题 切线斜率 割线斜率 瞬时速度 平均速度 瞬时变化率 平均变化率 取极限 取极限 取极限 逼近 5.1.2 导数的概念及几何意义 1.平均变化率的定义 对于函数y＝f(x)， 设自变量x从x0变化到x0＋∆x， 则函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋∆x). 这时，x的变化量为∆x，y的变化量为∆y＝f(x0＋∆x)－f(x0). ∆y ∆x 2.导数(瞬时变化率)的定义 导数是平均变化率的极限，是瞬时变化率的数学表达. (1)f ′(x0)与x0的值有关，不同的x0其导数值一般也不相同； (2)f′(x0)与∆x的具体取值无关； (3)瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。 2.导数(瞬时变化率)的定义 用导数定义求函数y=f(x)在x=x0的导数的基本步骤： ①计算函数的平均变化率=并化简； ②求极限，若极限值存在，则导数f '(x0)= 利用导数的定义求导数 理解可导的含义 思考：根据导数的定义判断，函数f(x)=|x|在x=0处是否可导? 理解导数(瞬时变化率)的意义 例2.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。已知在第x h时，原油的温度(单位: °C)为f(x)=x²－7x＋15(0≤x≤8). 计算第2 h与第6 h时原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义. 故在第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率分别为－3 ℃/h与5 ℃/h. 意义：在第2 h附近，原油温度大约以3 ℃/h的速率下降； 在第6 h附近，原油温度大约以5 ℃/h的速率上升. f '(x0) (0≤x0≤8)反映了原油温度在时刻x0附近的升降变化情况 例3.一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设t s时汽车的速度(单位: m/s) 为 v(t)=﹣t²+6t＋60，求汽车在第2 s与第6 s时的瞬时加速度，并说明它们的意义. 故在第2 s与第6 s时，汽车的瞬时加速度分别为2 ℃/h与－6 ℃/h. 意义：在第2 s附近，汽车速度大约以2 m/s的速率增加； 在第6 s附近，汽车速度大约以6 m/s的速率减少. v'(t0) (t0≥0)反映了汽车速度在时刻t0附近的增减变化情况 补充：利用导数的定义求导数 3.导数的几何意义 由图可知，点P0处的切线P0T比任何一条割线更贴近“点P0附近的曲线” B A 切线斜率 割线斜率 4.以直代曲的思想 将点P0附近的曲线不断放大，可以发现点P0附近的曲线越来越接近于直线. 可以用点P0处的切线P0T近似代替点P0附近的曲线y=f(x). 作用：借助导数，可以大致画出函数y=f (x)对应的曲线. 通过逼近，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线的方法，适用于各种曲线. 这种定义才真正反映了切线的直观本质． 要注意,曲线在某点处的切线: (1)与该点的位置有关; (2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解．如有极限,则在此点有切线，且切线是唯一的；如不存在,则在此点处无切线; (3)曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多个. 例4.如图是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h(t)=﹣4.9t2+4.8t +11的图象. 根据图象请描述、比较曲线h(t)在t=t0, t1, t2附近的变化情况. t1 h t0 O • • t2 • t l2 l1 l0 (1)当t=t0时, 曲线h(t)在t=t0处的切线l0平行于t轴, h'(t0)=0. 这时, 在t=t0附近曲线比较平坦, 几乎没有升降. (2)当t=t1时, 曲线h(t)在t=t1处的切线l1的斜率h'(t1)<0. 这时, 在t=t1附近曲线下降, 即函数h(t)在t=t1附近单调递减. (3)当t=t2时, 曲线h(t)在t=t2处的切线l1的斜率h'(t2)<0. 这时, 在t=t2附近曲线下降, 即函数h(t)在t=t2附近单调递减. 直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度, 这说明曲线h(t)在t=t1附近比在t=t2附近下降得缓慢. 5.导函数的定义 (1)“函数f(x)在点x0处的导数”，就是在该点的函数值的改变量与自变量的改变量的比的极限，它是一个数值，不是变数． “函数f(x)在点x0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系 概念理解： 练习：已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则曲线 y＝f(x)在点P处的切线方程是(　　) A．x＋y－1＝0　　B．x－y－1＝0 C．x＋y－