18.2.1 矩形 讲义 2023--2024学年人教版八年级数学下册

►第十八章 平行四边形 18.2.1 矩形 ■重点01 利用矩形的性质求长度、角度、面积 【例题】（2023秋•莱州市期末）如图，矩形中，，是的中点，，则长为　　 A． B．2 C． D．3 【答案】 【分析】由直角三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，即可求解． 【解答】解：四边形是矩形， ，， 是的中点， ， ， ， ， 故选：． 解法揭秘 1．利用矩形的性质求线段的长度 （1）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，即：矩形＝平行四边形＋一个内角是直角． （2）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，即对边互相平行，对边相等，对角相等，对角线互相平分． 2．利用矩形的性质求角度 利用矩形的性质得到四个角都是直角或对角线相等且互相平分，进而得到等腰三角形，从而可利用等腰三角形的性质得到相等的角，最后求解． 3．利用矩形的性质求面积 利用矩形的对称性进行面积的转化，进而可根据面积的相等关系求解． 闯关演练 【闯关1】　（2023秋•临邑县期末）如图，将长方形和直角三角形的直角顶点重合，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【闯关2】　（2024•深圳模拟）如图，在矩形中，，对角线与相交于点，垂直平分于点，则的长为　　 A． B． C．4 D．2 【闯关3】　（2023秋•新郑市校级月考）如图，矩形中，于，且，则的度数为　　 A． B． C． D． 【闯关4】　（2024•南岸区校级开学）如图，矩形中，已知，，的垂直平分线交于点，交于点，则四边形的面积为 　　． 【闯关5】　（2023秋•揭阳期末）如图，矩形的对角线，相交于点，过点作，交于点，若，，则的长为 　　． ■重点02 矩形的判定 【例题】（2023秋•兰州期末）如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接．求证：四边形是矩形． 【答案】证明见解析． 【分析】由平行四边形的性质得，，再证，则四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论． 【解答】证明：四边形是平行四边形， ，， ，，， ， 四边形是平行四边形， 又， ， 平行四边形是矩形． 解法揭秘 1．定义法； 2．对角线相等的平行四边形是矩形； 3．对角线平分且相等的四边形是矩形； 4．有三个角是直角的三角形是矩形． 闯关演练 【闯关6】　（2023秋•梅县区期末）在四边形中，，下列选项中，不能判定四边形为矩形的是　　 A．且 B．且 C．且 D．且 【闯关7】　（2023秋•项城市期末）如图，在四边形中，对角线、相交于点，，，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是　　 A． B． C． D． 【闯关8】　（2024•市南区校级开学）在四边形中，、交于点，在下列条件中，不能判定四边形为矩形的是　　 A．，， B．，， C．，， D．， 【闯关9】　（2023秋•秦都区期末）如图，在四边形中，，，对角线，相交于点，且．求证：四边形是矩形． 【闯关10】　（2023•二道区校级模拟）如图，在中，点是的中点，连接，、的延长线相交于点，连接、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当与满足条件 　　时，四边形是矩形． ■重点03 直角三角形斜边中线的性质 【例题】（2023秋•长宁区校级期末）如图，在中，，、分别是的高和中线，如果，那么的度数等于 　　． 【答案】． 【分析】由直角三角形斜边中线的性质推出，得到，求出，由直角三角形的性质得到，因此，即可求出． 【解答】解：，是的中线， ， ， ， ， 是的高， ， ， ， ． 故答案为：． 解法揭秘 1．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 2．直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形，这两个等腰三角形的面积相等． 3．在直角三角形中，如果遇到斜边的中点，可以考虑利用此性质，注意直角边上的中线不具备这一性质． 闯关演练 【闯关11】　（2023秋•周村区期末）如图，中，，点是斜边的中点，，则　　 A．5 B．6 C．8 D．10 【闯关12】　（2023秋•翠屏区期末）如图，在中，，，，为的中点，则的长为　　 A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 【闯关13】　（2023秋•榆阳区校级期末）如图，在中，，是边上的中线，且，则　　 A．6 B．8 C．9 D．10 【闯关14】　（2023秋•青龙县期末）如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则，两点间的距离为 　　． 【闯关15】　（2023秋•鄞州区期末）如图，在中，，为的中点，，点在上，且，则的大小为 　　． ■难点01 矩形中的折叠问题 【例题】（2023•砀山县二模）如图，在矩形中，是上一点，将沿折叠，使点落在处，若，则等于　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根