24.6正多边形与圆 课件 2023—2024学年沪科版数学九年级下册

第24章 圆 24.6 正多边形与圆 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 课时讲解 1 课时流程 2 正多边形与圆 正多边形的画法 正多边形的性质 知识点 正多边形与圆 知1－讲 1 1. 正多边形 各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形. 2. 圆的内接正n 边形 把一个圆n(n ≥ 3)等分，依次连接各分点得到的多边形就是这个圆的内接正n 边形，这个圆就是这个正n 边形的外接圆. 知1－讲 要点解读 “ 各边相等， 各角相等”是正多边形的两个基本特征，当边数n>3 时，二者必须同时具备，缺一不可，否则多边形就不是正多边形. 知1－练 如图24.6-1， 三角形AOB 是正三角形，以点O 为圆心，OA 长为半径作⊙ O， 已知直径FC ∥ AB，AO，BO 的延长线交⊙ O 于点D，E. 求证： 六边形ABCDEF 为圆内接正六边形. 例 1 5 知1－练 解题秘方：紧扣正多边形与圆的关系，结合同圆中弦、弧、圆心角的关系证明. 解法提醒 证明一个多边形是圆内接正多边形的方法： 1. 利用正多边形的定义，证明圆内接多边形的每个内角相等，每条边相等； 2. 证明圆内接多边形各边所对的弧相等，即证明这个多边形的各顶点等分这个圆. 6 知1－练 证明：∵三角形AOB 是正三角形， ∴∠ AOB= ∠ OAB= ∠ OBA=60°，OB=OA. ∴点B 在⊙ O 上. ∵ FC ∥ AB，∴∠ FOA= ∠ OAB=60°， ∠ COB= ∠ OBA=60°. ∴ ∠ AOB= ∠ BOC= ∠ COD= ∠ DOE= ∠ EOF= ∠ FOA=60°.∴AB = BC = CD = DE = EF = FA . ∴六边形ABCDEF 为圆内接正六边形. ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ 7 知识点 正多边形的画法 知2－讲 2 正n 边形的画法 将圆n 等分，然后顺次连接各等分点，即可得到所要作的正n 边形. 知2－讲 1. 用量角器等分圆周 先用量角器画一个度数为 的圆心角，则此圆心角所对的弧就是圆周的，然后在圆周上依次截取这条弧的等弧， 就得到圆的n 等分点，依次 连接各等分点，就得到圆的 内接正n 边形，如图24.6-2 ①所示. 知2－讲 2. 用尺规等分圆周 对于一些特殊的正n 边形，如正四边形、正八边形，可以用圆规和直尺作图，如图24.6-2 ②所示. 在⊙ O中，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可以把圆周四等分，从而作出正 四边形，若再逐次平分各边所 对的弧，就可以作边数逐次倍 增的正多边形，如正八边形、正十六边形等. 知2－讲 要点解读 画正多边形的原理：在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 知2－练 作一个正三角形，使其外接圆的半径为0.9 cm. 例2 解题秘方：用量角器画应先求出各边所对的圆心角，用尺规画则应先考虑等分圆周. 知2－练 特别提醒 1. 画圆内接正n边形，实质是找圆的n 等分点. 2. 用量角器等分圆是一种简单常用的方法，但边数很大时，容易产生较大的误差. 3. 尺规作图是一种比较准确的等分圆的方法，但只限于作一些特殊的正多边形. 知2－练 解： 作法一 (1) 用量角器画∠ AOB = ∠ BOC=120 °， 以O 为圆心，0.9 cm 为半径作圆，交三条射线于点A，B，C；(2)连接 AB，BC，CA，则△ ABC 即为所求作的正三角形，如图24.6-3 所示． 知2－练 作法二 (1)作半径为0.9 cm 的⊙ O；(2)作⊙ O 的任一直径AB；(3)以B 为圆心，0.9 cm 为半径作弧，交⊙ O 于点C，D；(4)连接AD，DC，CA，则△ ADC 即为所求作的正三角形，如图24.6-4 所示. 知识点 正多边形的性质 知3－讲 3 1. 性质 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆. 知3－讲 2. 有关概念 正多边形的中心：正多边形的外接圆和内切圆的公共 圆心. 正多边形的半径：正多边形外接圆的半径. 正多边形的边心距：正多边形内切圆的半径. 正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角. 知3－讲 3. 正n 边形的每个中心角都等于 360°n . 4. 设正n 边形的半径为R，边长为a，边心距为r，则： (1)半径、边长、边心距的关系为R2=r2+()2； (2)周长C=na； (3)面积S= ar·n= Cr. 知3－讲 5. 正多边形的对称性 所有的正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过正多边形的中心. 当n 为偶数时，它还是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 特别提醒：边心距也是弦心距，但弦心距不一定是边心距. 知3－讲 特别提醒 常见的正多边形的边长与半径的关系： 1. 正六边形的边长等于其外接圆半径； 2.