专题6.1两个计数原理（2知识点+9考点）-2023-2024学年高二数学知识•考点培优讲义（人教A版2019选择性必修第三册）

专题6.1 两个计数原理 知识点一 分类加法计数原理 ①定义：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法. ②拓展：完成一件事，如果有n类不同方案，且：第1类方案中有m1种不同的方法，第2类方案中有m2种不同的方法，…，第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法. 知识点二 分步乘法计数原理 ①定义：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法. ②拓展：完成一件事，如果需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法. 考点01 分类计数原理 【典例01】（2024高二下·全国·专题练习）每天从甲地到乙地的飞机有5班，高铁有10趟，动车有6趟，公共汽车有12班.某人某天从甲地前往乙地，则其出行方案共有（    ） A．22种 B．33种 C．300种 D．3 600种 【典例02】（23-24高二下·江西·开学考试）某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片、4部警匪片、3部战争片及2部喜剧片，小明从中任选1部电影观看，不同的选法共有（    ） A．9种 B．12种 C．24种 D．72种 【总结提升】 1.关键是分类标准的确定，通常按有特殊要求的元素或有特殊要求的位置进行分类，即以“符合要求”与“不符合要求”作为分类标准． 2.利用分类加法计数原理时，应明确完成“一件事”是什么，什么程度才叫完成，完成是共有几类方案，每一方案又有几种办法，然后利用加法原理得出结果即可. 考点02 分类计数原理 【典例03】（2024高二下·江苏·专题练习）现有6名志愿者去5个社区去参加志愿活动，每名志愿者可自由选择其中的1个社区，不同选法的种数是（　　） A．56 B．65 C．30 D．11 【典例04】（2024高二下·全国·专题练习）某职业学校外贸专业高二（1）班、（2）班、（3）班分别有7，9，10人参加技能兴趣选拔赛． (1)如果选一人当组长，那么有多少种不同的选法？ (2)如果老师任组长，每班选一名副组长，那么有多少种不同的选法？ (3)如果推选两名学生参赛，要求这两人来自不同的班级，那么有多少种不同的选法？ 【总结提升】 1.分类与分步都是数学思维中的“分解” 策略，前者是“横向分解”，分解为若干种满足要求的类型；后者是“纵向分解”，将解决问题的方法分成为按一定顺序进行的小步骤． 2.利用分步乘法计数原理时，应明确完成“一件事”是什么，什么程度才叫完成，完成是共分几个步骤，完成每一个步骤又有几种办法，然后利用分步乘法计数原理得出结果即可． 考点03 计数原理的判断 【典例05】（23-24高二上·全国·课时练习）判断正误（正确的写正确，错误的写错误） （1）从书架上任取数学书、语文书各1本是分类问题.( ) （2）分步乘法计数原理是指完成其中一步就完成了整件事情．( ) （3）分类加法计数原理可用来求完成一件事有若干类方法这类问题．( ) （4）从甲地经丙地到乙地是分步问题．( ) 【典例06】（23-24高二下·全国·课前预习）判断正误，正确的写正确，错误的写错误． （1）在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.( ) （2）用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能编出26+10=36种不同的号码．( ) （3）在分类加法计数原理中的每一种办法都可以完成这件事.( ) 【总结提升】 1．用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析——需要分类还是需要分步． 应用加法原理时，要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性，各类中的每个方法都能独立的将这件事情完成；应用乘法原理时，要注意“步”与“步”之间是连续的，做一件事需分成若干个互相联系的步骤，所有步骤依次相继完成，这件事才算完成． 2．分类要做到不重不漏，分类后再分别对每一类进行计数，最后用__分类加法计数原理__求和，得到总数． 3．分步要做到步骤完整，步与步之间要相互独立，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘得到总数． 考点04 综合应用--实际问题 【典例07】（2024高二下·全国·专题练习）5人排一个5天的值日表，每天排一人值日，每人可以排多天或不排，但相邻两天不能排同一人，值日表排法的总数为（    ） A．120 B．324 C．720 D．1280 【典例08】（23-24高三下·山