5.7 课时1 三角函数模型在物理中的应用 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

5.7 课时1 三角函数模型在物理中的应用 1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题． 2.能将某些实际问题抽象为三角函数模型． 学习目标 我们前面学习了角与弧度、三角函数概念与性质、同角三角函数的基本关系式、三角恒等变换的内容，今天我们一起来学习三角函数的应用. 现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象，例如地球自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化，月亮圆缺，潮汐变化，物体作匀速圆周运动时的位置变化，物体做简谐运动时的位移变化，交变电流变化等. 新课导入 本节通过几个具体实例，说明三角函数模型的简单应用. 任务探究 图5.7-1 根据已知数据作出散点图， 任务探究 图5.7-1 任务探究 现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动，等等，这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动，在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”. 可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y=A sin(ωt +φ)，x∈[0，+ )表示，其中A>0，ω>0.描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关： 任务探究 任务探究 三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：一是已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则；二是把实际问题转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模． 任务探究 练习1如图所示，某简谐运动的图象，试根据图象回答下列问题：（1）这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？（2）写出这个简谐运动的函数解析式. 任务探究 任务探究 图5.7-2 任务探究 任务探究 任务探究 规律方法 任务探究 √ × × × 当堂检测 1.我们由分析函数图象的几何特征得到函数解析式，然后再应用解析式求出当自变量取某些特殊值时所对应的函数值，随后对这些函数值给出相应的物理意义; 2.经过本节课的学习，我们认识到三角函数模型是描述周期变化的重要数学模型，主要了解简谐运动的函数模型中参数的物理意义；同时在问题研究过程中体验三角函数与日常生活和其他学科的联系，增强了我们的应用意识，感受了数学的应用价值；同时在实际问题的解决过程中感受信息技术处理数据的优势，提升了我们的数学建模素养. 课堂总结 问题1.某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动的过程中，时间t（单位：s）与位移y（单位：mm）之间的对应数据如表5.7-1所示. 试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式. 振子的振动具有循环往复的特点，由振子振动的物理学原理可知，其位移y随时间t的变化规律可以用函数 y=A sin(ωt +φ)来刻画. 由数据表和散点图可知，振子振动时位移的最大值为20mm，因此A=20； 振子振动的周期为0.6s，即=0.6，解得ω=； 再由初始状态(t=0)振子的位移为-20， 可得sinφ=-1，因此φ=－. 所以振子位移关于时间的函数解析式为y=20 sin , t∈[0 , ＋]. 对于y=A sin(ωt +φ)，x∈[0，+)中各参数在实际问题中的物理意义： A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是T= ，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式f==给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；ωx+φ称为相位；x=0时的相位φ称为初相. （2）由（1）可得y = 3sin. 点（1.2，0）代入， 即当x=时，0=3 sin＝3 sin 频率f=（Hz）. 即sin＝0 可得φ＝＋2kπ (k∈Z)，取φ＝ 则函数解析式为y = 3sin. 解：（1）根据图象所示，振幅A=3（cm）， 周期T=4（s）， 问题2.如图5.7-2（1）所示的是某次实验测得的交变电流i（单位：A）随时间t（单位：s）变化的图象，将测得的图象放大，得到图5.7-2（2）. （1）求电流i随时间t变化的函数解析式； （2）当t=0， ， ， ， 时，求电流i. 由交变电流的产生原理可知，电流i随时间t的变化规律可用i= A sin(ωt +φ)来刻画，其中表示频率，A表示振幅，φ表示初相. 由图5.7-2（2）可知，电流最大值为5 A.因此A=5；电流变化的周期s，频率为50 Hz，即=50，解得ω=100π； 再由初始状态（t=0）的电流约为4.33 A.可得sinφ=0.866，因此φ约为， 所以电流i随时间t变化的函数解析式是i=5sin,t∈[0,＋] 当t=0时，i=;