24.4 第3课时 坡角(或坡比) 学案 2023—-2024学年华东师大版数学九年级上册

24.4 第3课时　坡角(或坡比) 素养目标 1.理解坡角和坡度的概念,并能解直角三角形. 2.会利用坡角和坡度的知识解直角三角形. 3.会运用解直角三角形的知识解决与坡角、坡度有关的实际问题. ◎重点:坡角和坡度概念的理解及应用. 预习导学 知识点一 坡角(或坡比)的定义 阅读课本本课时“读一读”中的所有内容,回答下列问题. 1.回顾:在修路、挖河、开渠和筑坝时,设计图纸上都要注明斜坡的　 . 2.观察“图24.4.5”,填空:坡面的　 　(h)和　 　(l)的比叫做坡面的　 　,记作　 　,即i=　 　,坡度通常写成　 　的形式,如i=1∶6.　 　和　 　的夹角叫做　 　,记作　 　.在直角三角形中,由tan α=　 　,所以　 . 3.结合对点自测中的(1)、(2)和(3)题,你能用一句话概括坡度的大小与斜坡的倾斜程度的关系吗? 【答案】1.倾斜程度 2.铅垂高度　水平长度　坡度(或坡比)　i　 1∶m　坡面　水平面　坡角　α　　i==tan α 3.答:坡度越大,坡角就越大,坡面就越陡. 归纳总结　坡度越大,坡角就越　 　,坡面就越　 　. 【答案】大　陡 知识点二 坡角(或坡比)的应用 阅读课本本课时“例4”中的所有内容,回答下列问题. 1.观察“图24.4.6”,填空:因为DE⊥AB,CF⊥AB,所以DE　 　CF,又因为梯形ABCD,所以AB　 　CD,所以四边形DEFC是　 　,所以　 　=4.2米,　 　=12.51米.在Rt△ADE中,∠A=32°,由tan A=　 　,有AE=　 　≈　 　米;在Rt△BCF中,∠B=28°,由tan B=　 　,有BF=　 　≈ 米;因为AB= + +　 　,所以AB≈　 　+　 　+　 　≈　 　米. 【答案】1.∥　∥　平行四边形　DE=CF　EF=CD　　　6.72　　　7.90　AE　EF　BF　6.72　12.51　7.90　27.1 阅读课本本课时“读一读”中的所有内容,填空. 归纳总结　运用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角有关的实际问题的一般过程: (1)将实际问题抽象为　 　(操作方法:画出　 　,转化为　 　的问题,也就是建立适当的　 　); (2)根据条件的特点,合理选用　 　,运用直角三角形的有关性质,解直角三角形; (3)得到数学问题的答案; (4)得到实际问题的答案. 【答案】数学问题　平面图形　解直角三角形　数学模型　锐角三角函数 对点自测　根据所学知识,填空: (1)斜坡的坡度i=1∶,则坡角是　 　; (2)斜坡的坡度i=1∶1,则坡角是　 　; (3)斜坡的坡度i=∶1,则坡角是　 　. 【答案】30°　45°　60° 合作探究 任务驱动一 坡角(或坡比)的定义 1.坡度等于1∶的斜坡的坡角等于 ( ) A.20° B.30° C.50° D.60° 【答案】1.B 变式演练　若一辆汽车沿坡角为30°的斜坡前进400米,则它上升的最大高度为　 　米. 【答案】200 2.已知一道斜坡的坡比为3∶4,坡长为20米,那么坡高为 ( ) A.9米 B.12米 C.15米 D.16米 3.如图,一个小球由地面沿着坡度i=1∶2的坡面向上前进了20 m,求此时小球距离地面的高度. 【答案】2.B 3.解:如图,∵tan A==, ∴设BC=x(x>0),则AC=2x. 在Rt△ABC中,AB=20米,由勾股定理可知AB2=AC2+BC2,即400=x2+4x2,解得x=4,∴BC=4米. ∴此时小球距离地面的高度为4米. 任务驱动二 坡角(或坡比)的应用 4.如图,水库大坝梯形截面的迎水坡AD的坡比为8∶5,背水坡BC的坡比为3∶5,大坝高DE=24 m,坝顶宽CD=12 m,求下底AB. 5.如图,长6米的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°,为了改善楼梯的安全性能,准备重新建造楼梯,使其倾斜角∠ACD为45°,求调整后的楼梯AC的长. 【答案】4.解:∵DE⊥AB,CF⊥AB,∴DE∥CF. ∵梯形ABCD,∴AB∥CD, ∴四边形DEFC是平行四边形,∴EF=CD=12 m. ∵DE=24 m,DE∶AE=8∶5,∴AE=15 m. ∵CF=DE=24 m,CF∶BF=3∶5,∴BF=40 m, ∴AB=AE+EF+BF=15+12+40=67 m. 5.解:在Rt△ABD中,∠ABD=60°,由sin∠ABD=,有AD=AB·sin∠ABD=3米. 在Rt△ACD中,∠ACD