2.2 从位移的合成到向量的加减法6种常见考法归类-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（北师大版2019必修第二册）

2.2 从位移的合成到向量的加减法6种常见考法归类 课程标准 学习目标 借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义 1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及其运算律； 2.掌握向量加法运算法则，能熟练进行加法运算； 3.掌握数的加法与向量的加法的联系与区别. 4.理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量相减的意义； 5.掌握向量减法的运算及其几何意义，能熟练地进行向量的加减运算； 6.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算. 知识点01向量的加法 定义 求两个向量和的运算，称为向量的加法 向量加法的三角形法则 前提 已知两个不共线的向量a，b，在平面内任取一点A. 作法 作＝a，＝b，连接AC 结论 有向线段表示的向量即为a与b的和，记作a+b，即a＋b＝＝． 图形 向量加法的平行四边形法则 前提 已知两个不共线的向量a，b，在平面内任取一点O. 作法 作＝a，＝b，以OA，OB为邻边作▱OACB. 结论 以O为起点的向量就是向量a与b的和，即＝a+b． 图形 规定 对于零向量与任一向量a，我们规定a＋0＝0＋a＝a 注：1.在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和；向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量． 2．三角形法则与平行四边形法则的适用条件 　　　 法则 适用条件　 三角形法则 平行四边形法则 两向量位置关系 两向量共线或不共线均可 只适用于两向量不共线的情况 两向量起点、终点的特点 一个向量的终点为另一个向量的起点 两向量起点相同 【即学即练1】如图，已知向量，，求作向量． 知识点02　向量加法的运算律 1．交换律：a＋b＝b+a 2．结合律：(a＋b)＋c＝a+(b+c） 注：1.当两个向量共线时，向量加法的交换律和结合律也成立． 2．我们可以从位移的物理意义理解向量加法的交换律： 一质点从点A出发，方案①先走过的位移为向量，再走过的位移为向量，方案②先走过的位移为向量，再走过的位移为向量，则方案①②中质点A一定会到达同一终点． 3．多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行，如()＋()＝()＋()；＋＝[＋()]＋()． 【即学即练2】化简：(1)＋； (2)＋＋； (3)＋＋＋＋. 【即学即练3】向量﹒化简后等于（ ） A. B.0 C. D. 【即学即练4】化简下列各式：①；②；③；④．其中结果为的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【即学即练5】如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点． (1)＋＝________； (2)＋＋＝________； (3)＋＋＝________； (4)＋＋＝________. 知识点03 向量的减法 1．定义：向量a减向量b等于向量a加上向量b的相反向量，即a－b＝a＋(－b)． 2．几何意义：如图，设＝a，＝b，故a－b＝，则a－b＝a＋(－b)＝＝＝，即a－b表示为从向量b的终点B指向被减向量a的终点A的向量． 【即学即练6】如图，在各小题中，已知，分别求作． 【即学即练7】如图，已知向量a，b，c，求作a－b－c． 【即学即练8】化简－＋－得(　 　) A．　　　　B． C．　　　　 D．0 题型一：向量加法法则的应用 例1．（2024高一下·全国·专题练习）如图，已知下列各组向量，，求作. (1)； (2)； (3)‘ (4) 变式1．（22-23高一·全国·随堂练习）如图，已知向量，，不共线，求作向量．    变式2．（21-22高一·江苏·课后作业）如图所示，求： (1)； (2)； (3)； (4). 变式3．（21-22高一下·全国·课前预习）如图，为边长为1的正六边形，O为其几何中心. (1)化简； (2)化简； (3)化简； (4)求向量的模. 【方法技巧与总结】 用三角形法则求向量和，关键是抓住“首尾相连”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点，平行四边形法则注意“共起点”，且两种方法中，第一个向量的起点可任意选取，可在某一个向量上，也可在其它位置．两向量共线时，三角形法则仍适用，平行四边形法则不适用． 题型二：向量的加法运算 例2．（22-23高一下·新疆·期末）化简下列各式: (1) (2) 变式1．（21-22高一下·全国·课前预习）化简 (1)； (2) . 变式2．（2020高一·全国·专题练习）化简：①＋；②＋＋；③＋＋＋＋. 变式3．