8.6 样本的均值和标准差-【教与学新方案】2023-2024学年中职数学·基础模块下册

第八章 概率与统计初步 8.6 样本均值与标准差 8.6.1 样本平均数 学业要求 理解样本均值的意义；会根据公式计算一个样本均值；会用样本均值估计总 体数据的集中趋势. 学法健议 本课学习重点是理解样本均值的意义，能用样本平均数去描述总体水平；难 点是理解平均数是刻画数据集中趋势的特征值.关键是有些实际问题并不需要知 道考察对象的整体情况.而只需要了解数据的集中趋势就行了. 学习中要注意以下几点： 1.在显示数据集中趋势的平均数，中位数，众数等特征值中，最重要的是平均 数.本节有关样本平均数，实际上是对初中有关内容复习和提高.重在从理论上说 明其依据，培养理性思维. 2.之所以学习平均数，是因为有时很难知道数据的分布规律，频率分布直方 图又得不到原始数据内容，而平均数能对数据的集中趋势作出简要的描述，而且 在有些实际问题中并不需要知道考察对象的整体情况，而只需要了解它的某些数 字特征就行了 知识建构 【情境与问题】 在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得次测量分别得到α1， a2,…,am,共n个数据.处理实验数据的原则是所测量的“最佳近似值x”是这样一 个量：与各数据的差的平方和最小那么这个物理量的最佳近似值x是多少呢？ 【探究与分析】 根据处理实验数据的原则，当y=(x一a1)2十(x一a2)2十…+(.x一am)2最小 ·231· 教与学新方案·数学·（第二册） 时，对应的x值为最佳近似值.然而， y=(x-a1)2+（x-a2)2+…+(x-am)2 =nx2-2(a1+a2十…+an)x+a12十a22+…+an2 因为是正整数大于0，所以根据一元二次函数求最值方法，得 当x=a十a:十…十a时，y取最小值。 【建构与生成】 一般地，称a1十a十…十a:为这n个数据a1a2,…,a,的算术平均数或均 值，记为a4十@：十…十a一之。，如果这n个数是从总体中轴取的一个样 本，那么a叫做样本均值. 典型例题 例口 一部电梯的最大载重量是1000kg,现有13位乘客要搭乘电梯，已知其 中11位男士的平均体重是80kg,2位女士的平均体重是70kg,请问他们能否一起 安全地搭乘这部电梯？他们的平均体重是多少kg? 【解】11位男土体重和=80×11=880(kg),2位女土体重和=70×2= 140(kg),13个人体重的和=880+140=1020(kg),因为总的体重超过电梯最大载 重量，所以他们不能一起安全地搭乘这部电梯.他们的平均体重= 1020 13 78.46(kg)） 评注：要理解样本平均数就是样本数据之和除以样本容量， 例2某企业有70%的人年收入5万元，25%的人年收入8万元，5%的人年 收入12万元，求这个企业人年平均收入. 【解】企业人年平均收入为：5×0.7+8×0.25十12×0.05=6.1（万元） 评注：利用加权平均数计算公式.一般地，若取值为x1,x2,,x。的频率分别为p1,p2 …,pm,则其平均数为x1p1十x2p2十…十xnpm… ·232· 第八章概率与统计初步 例3 下面是某校学生日睡眠时间的抽样频率分布表（单位：h)试估算该校 学生的日平均睡眠时间 表8-14 睡眠时间 人数 频率 6~6.5 5 0.05 6.57 17 0.17 7~7.5 33 0.33 7.5~8 37 0.37 88.5 6 0.06 8.5~9 2 0.02 合计 100 1 【解】 要确定100名学生的平均睡眠时间，就需要计算总睡眠时间.由于每组 中的个体睡眠时间只是一个范围，因此采用各分组区间的组中值近似表示个体睡 眠时间。 总睡眠时间约为6.25×5+6.75×17+7.25×33+7.25×37+8.25×2= 739(h),所以平均睡眠时间约为7.39h. 评注：本例也可采用加权平均数计算公式，按组中值与对应频率之积的和求平均睡眠 时间 要点归纳 1.有n个数据a1,a2,…,am称 为n个 数据a1,a2,…,an的算术平均数或均值.记为a= ,如果这n个 数据是从总体中抽出来的一个样本，那么a就叫做 2.若取值为x1,x2,…,xm的频率分别为p1,p2,…,pn,则其平均数x为 ·233· 教与学新方案·数学·（第二册） 达标练可 A组 1.10名工人某天生产同一种零件，生产的件数分别是15,17,13,17,18,14， 17,16,14,19,设其平均数为a,中位数为b,众数为c,则 A.a>6>c B.a >c>b C.c>6>a D.c>a>b 2.在学校演讲比赛中，8位评委为某演讲者打出的分数如下：77,76,83,81， 79,84,90,82.这些分数中去掉最高分和最低分，其余分数的平均数为演讲者的最 终分数.那么该演讲者的最终分数为 ( A.70 B.80