7.6 柱，锥、球的体积-【教与学新方案】2023-2024学年中职数学·基础模块下册

教与学新方案·数学·（第二册） 2.已知圆锥的底面半径为4，轴截面是等腰直角三角形，求该圆锥的侧面积和 表面积. 7.6柱、锥、球的体积 7.6.1棱柱、棱锥的体积 学业要求 理解棱柱、棱锥的体积公式，会求棱柱、棱锥的体积」 学法健仪 本课学习重点是会求棱柱、棱锥的体积；难点是理解棱锥的体积是等底等高 的棱柱体积的三分之一：关键是能从柱体的变形分割中发现规律 学习中要注意以下几点： 1.借助模型理解棱柱、棱锥的体积公式。 2.充分发挥直观想象能力，用动态的观点分析、归纳柱体、锥体的生成变化规 律，加深对两个体积公式的理解。 3.课前查阅“祖暅原理”，初步感知“祖暅原理”的实质，在了解中国古代数学 家伟大成就的基础上，为本节内容的学习打好基础. 知识建构- 【情境与问题】 如图7-54，正方体的体积=棱长×棱长×棱长，长方体的体积=长×宽×高. 那么，如何计算一般棱柱、棱锥的体积呢？ ·154· 第七章简单几何体 棱长 棱长 棱长 长 (1) (2) 图7-54 【探究与分析1】 正方体是一种特殊的长方体，而长方体又是一种特殊的直棱柱.图7-54(2) 中，记长方体的底面积为S底，体积为V长方体，则 S底=长X宽， V长方体=长X宽X高=S底X高. 也就是说，长方体的体积等于底面积与高的乘积.那么，直棱柱的体积也可以 这么来计算吗？对于一般的棱柱，它们的体积如何计算？ 图7-55(1)是一个长方体，用一个过一组对棱的平面把它截成两个直三棱柱， 如图7-55(2)，(3)，显然这两个直三棱柱的形状完全相同，它们的体积也相等.不 难得出这样的直三棱柱的体积等于它的底面积与高的乘积. (1) (2) (3) 图7-55 观察图7-56(1)，这个直棱柱是由一摞A4纸叠成的，把这摞纸按同一方向有 序地平移成图7-56(2)的形状，得到一个斜棱柱，显然，这两个棱柱的底面积相同， 高相等，体积也相等 ·155· 教与学新方案·数学·（第二册）】 (1) (2) 图7-56 【探究与分析2】 如图7-57(1)，四棱锥S一ABCD的底面为平行四边形，顶点S在底面内的正 投影为平行四边形对角线交点O,即线段SO是这个棱锥的高.图7-57(2)，(3)两 个三棱锥都是由图7-57(1)中的四棱锥沿高SO按不同的方向截得的，显然，这两 个三棱锥的底面积相同，高相等，体积都等于原来四棱锥的一半，所以体积也相等. (1) (2) (3) 图7-57 观察图7-58可以发现，图7-58(1)是一个三棱柱，它被两次切割后分解成3个 三棱锥，如图7-58(3)，(4)，(5).对于这3个三棱锥中的任意两个，按一定位置摆放 后，可以使它们的底面积和高都相等. () (2) (3) (4) 图7-58 【建构与生成】 ·156· 第七章简单几何体 对于一般的棱柱和棱锥，有以下结论： (1)棱柱的体积等于它的底面积与高的乘积： (2)等底面积、等高的棱柱或者棱锥的体积分别相等； (3)棱锥的体积是与它等底面积、等高的棱柱体积的三分之一， 如果棱柱或者棱锥的底面积为S底，高为h,那么它们的体积 1 V柱=S·h,V按锥=2S账·h 3 明典型例题 例I 如图7-59，已知直棱柱ABC一A1B1C,的底面ABC是等腰直角三角 形，AB=BC=12cm,∠ABC=90°，侧棱长为16cm,求棱柱的体积V. 图7-59 【分析】直棱柱的侧棱长就是直棱柱的高，求直棱柱的体积还需要它的底面 积，这个可以通过解底面三角形求得， 【解】在等腰直角三角形ABC中，因为AB=BC=12,∠ABC=90°， 所以S底= AB.BC-号X12X12=72. 因为AA1=16,所以V=S底h=72×16=1152(cm3), 即所求棱柱的体积为1152cm3. 评注：求棱柱的体积，重点就是关注棱柱的底面积和高，然后应用公式去求. 例2 根据图7-60中标出的尺寸，求正四棱锥的体积. 图7-60 ·157· 教与学新方案·数学·（第二册）】 【分析】从图中标注的尺寸可以发现，正四棱锥的底面是边长为4的正方 形，棱锥的高为4，求出底面积后可以直接代入棱锥的体积公式求解. 【解】 正四棱锥的底面积S底=4×4=16，高h=4, V- 3S账h 3×16X4= 64 3 即所求正四棱锥的体积为 64 评注：求棱锥的体积，重点也是要关注棱锥的底面积和高，然后应用公式去求.但要注 意的是，棱锥的体积是等底面积、等高的柱体体积的三分之一· 思维拓展 你能把一个正方体分割成6个体积相等的三棱锥吗？试把它们画出来. 要点归纳 1.棱柱的体积等于它的底面积与高的 2.等底面积、等高的棱柱的体积 3.等底面积、等高的棱锥的体积 4.棱锥的体积是与它等底面积、等高的棱柱体积的 5.如果棱锥的底面积为S帐，高为h