7.3 空间图形的画法-【教与学新方案】2023-2024学年中职数学·基础模块下册

第七章简单几何体 4.试描述下列三视图所表示的几何体的形状 (1 (2) 7.3 空间图形的画法 7.3.1 水平放置的平面图形的直观图画法 学业要求 会通过实物观察和直观想象感知水平放置的平面图形的直观图，理解斜二测 画法的基本规则，会利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图. 学法健仪 本课学习重点是理解斜二测画法的基本规则，会利用斜二测画法画水平放置 的平面图形的直观图：难点是斜二测画法基本规则的具体应用；关键是掌握画水 平放置的平面图形的一般方法 学习中要注意以下几点： 1.可借助实物（正方体）观察理解斜二测画法的基本规则： 2.明确画水平放置的平面图形的直观图，关键是要找到平面图形中的关键点 在直观图中的具体位置. 3.理解直角坐标系的选取很重要 ·123· 教与学新方案·数学·（第二册）】 知识建构 【情境与问题】 (1)》 (2) 图7-32 三视图是观察者从三个不同方向观察同一个空间几何体而画出的图形，而我 们很多时候是从某个位置观察一个空间几何体而获得的图形，我们称这样的图形 为这个空间几何体的直观图.例如图7-32，观察左边的三视图，不难发现这是一个 正方体，可以用右边这个直观图来表示.三视图能够正确反映几何体的长、宽、高等 要素，但直观性较差，而“直观图”顾名思义就是看上去更为直观.在研究几何体中 点、线、面的内在特性时，用的更多的是几何体的直观图那么，如何画几何体的直 观图才能使几何体看上去更为直观呢？ 图7-32(2)中，正方体的6个面是全等的正方形，为什么在直观图中这6个面 不全等呢？ 【探究与分析】 画几何体的直观图，实际上是将不完全在同一平面内的点的集合，用同一平 面内的点表示在立体几何中，几何体的直观图通常是在平行投影下得到的平面图 形，很显然图7-32(2)的投影面与正方体的前后两个面是平行的，且这个投影不是 正投影，是投射线从右前方射过来的斜投影.因为前后两个面与投影面平行，所以 它们在直观图中的形状与原形状相同，仍然是正方形，而其他四个面与投影面不 平行，所以投影后的形状与原形状（正方形）相比发生了改变，即直观图往往与几 何体的真实形状不完全相同. 【建构与生成】 在立体几何中，画水平放置的平面图形的直观图一般采用斜二测画法，其步 骤是： ·124· 第七章简单几何体 (1)在水平放置的平面图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点， (2)画直观图时把它们画成对应的x'轴和y'轴，它们相交于O'点，使 ∠x0'y′=45（或135）. (3)平面图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴 或y'轴的线段. (4)平面图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的 线段，长度变为原来的一半 典型例题 例1 画水平放置的正三角形的直观图. B (1) (2) (3) 图7-33 【分析】以正三角形一边所在的直线为x轴，该边上的中垂线为y轴建立直 角坐标系，这样正三角形的三个顶点都在坐标轴上，可直接利用相关规则画出直 观图 【解】设正三角形ABC如图7-33(1)放置. 第一步：在正三角形ABC中，以AB所在的直线为x轴，以对称轴CO为y轴. 画出对应的x′轴和y′轴，使∠x'O'y′=45°，如图7-33(2). 第二步：在x'轴上取O'A'=OA,O'B′=OB,在y'轴上取O'C'= OC. 第三步：连接A'C、BC'(擦去辅助线)，则三角形A'B'C就是正三角形ABC 的直观图，如图7-33(3). 评注：画水平放置的平面图形的直观图，首先要考虑坐标轴的位置，要尽量让更多的关 健点落在坐标轴上，这样画图将更为简便。 ·125· 教与学新方案·数学·（第二册）】 例2 用斜二测画法画出水平放置的正五边形的直观图. O B A 0R (1) (2) (3) 图7-34 【分析】为了让更多的关键点落在坐标轴上，可以选取正五边形一边所在的 直线为x轴，与该边垂直的正五边形的对称轴为y轴，建立直角坐标系，这样有三 个点在坐标轴上，另外两个顶点的连线段平行于x轴】 【解】设正五边形ABCDE如图7-34(1)放置， 第一步：在正五边形ABCDE中，以AB所在的直线为x轴，以对称轴DO为y 轴，线段EC与y轴相交于F点 第二步：画出对应的x′轴和y′轴，使∠x'Oy'=45°，如图7-34(2). 第三步：在r轴上取0A'=-OA,0B=0B,在y轴上取0D'-0D.0F 20R 第四步：过F'点作x'轴的平行线，并在此平行线上取F‘E=FE,F'C'=FC. 第五步：连接B'C',C'D',D'E',E'A'(擦去辅助线)，则五边形A'B'C'D'E 就是正五边形ABCDE的直观图，如图7-34(3). 评注：坐标轴位置的选取并不唯一，关健是要考虑作图方便.对