6.8 直线与圆的方程应用举例-【教与学新方案】2023-2024学年中职数学·基础模块下册

教与学新方案·数学·（第二册） 6.8 直线与圆的方程应用举例 学业要求 了解直线和圆在生活中的应用，能通过数学建模，解决与直线方程和圆的方 程有关的实际问题， 学法建仪 本课学习重点是掌握直线和圆的方程在实际生活中的应用：难点是将实际问 题转化为数学问题，以及根据具体问题建立适当的直角坐标系.关键是掌握用坐标 法研究几何问题的基本思想方法。 学习中要注意以下几点： 1.点和点关于直线的对称是所有对称性问题的基础，最终都可转化为两点的 连线段与该线段中垂线垂直的问题，点和点关于坐标轴对称是此类问题中的特殊 情况. 2.在解决实际问题时，要注意根据图形的已知条件和探求的日标，尝试选用 适当的方程来建立数学模型， 3.运用坐标法解决几何问题时，要根据具体问题建立适当的直角坐标系，以 减少运算量 知识建构 【情境与问题1】 唐代诗人李欣的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交 河”诗中隐含着一个有趣的数学问题，如图6-21，诗中将军在观望烽火之后从山脚 的A点出发，沿直线走到河边(x轴)饮马后再沿直线到B点宿营，请问在哪里饮 马才能使路程最短？ ·84· 第六章直线与圆的方程 ●B(2,3) ●A(-3,2) 河边 图6-21 【探究与分析1】 本题转化为在x轴上求一点P,使PA十PB值最小，可通过对称进行等量代 换（如图6-22），根据三角形两边之和大于第三边找到点P,即先求出A点关于x 轴的对称点A',连接A'B,则其与x轴的交点即为所求的点P 点A(一3,2)关于x轴的对称点A'的坐标为（一3，一2），故直线A'B斜率k= 1,所以根据直线的点斜式方程可求得直线A'B的方程为y一3=x一2，即直线y= x+1,直线与x轴交点坐标为（一1,0），故点P坐标为（一1,0）. ●B(23) A(-3.2) 河边 A(-3.-2) 图6-22 【建构与生成1】 1.两点关于点的中心对称 x'=2a-x0 若(xoy)关于(a,b)的对称点为(x',y),则 y'=26-yo 特例：点(x0yo)关于坐标原点的对称点为（一xo,一yo): 2.两点关于直线的轴对称 若点(xo,y。)关于直线Ax十By+C=0的对称点是(x',y), ·85· 教与学新方案·数学·（第二册）】 +B.o+y' A.+x' +C=0 2 则 x'-x0 )=-1 B 特例：点(xo,yo)关于x轴的对称点为(xo,一yo); 点(xyo)关于y轴的对称点为（一xoyo): 点(x,yo)关于直线y=x的对称点为(yo,xo); 点(xo,yo)关于直线y=一x的对称点为（一yo,一xo). 【情境与问题2】 一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮 船正西70km处，受影响的范围是半径为30km的圆形区域，已知港口位于台风中 心正北40k处（如图6-23），如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的 影响？ 口 飞轮船 0 图6-23 【探究与分析2】 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系（如图6-24）， 港川 飞轮 图6-24 其中取10km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x +y=9,港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为 (7,0),则轮船航线所在直线L的方程为4x+7y一28=0， ·86· 第六章 直线与圆的方程 28 28 圆心(0,0)到1：4.x+7y一28=0的距离d= √42+7严√65 因为28 >3,所以直线与圆相离. √/65 故轮船不会受到台风的影响. 【建构与生成2】 用坐标法解决几何问题的步骤： 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素， 将平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论. 典型例题 例] 从点P(2,1)射出一条光线，经过x轴反射后经过点Q(8,2),求反射 点M的坐标。 【分析】根据光的反射定律可知，点P关于x轴的对称，点P'、反射点M、发 光点P三，点共线，所以点M为直线P'Q与x轴的交点 【解】点P(2,1)关于x轴的对称点P'的坐标为(2，一1)， 故直线P'Q斜率k=0.5,所以直线P'Q的点斜式方程为y十1=0.5(x一2)， 即直线y=0.5.x一2，直线与x轴交点坐标为(4,0)， 故反射点M坐标为(4,0). 评注：运用“数形结合”思想分析问题有助于数学问题的解决。 例2 如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2m,水 面宽12m,当水面下降1m后，求水面宽为多少米. 12 图6-25 【分析】根据圆的对称性，建立适当的直角坐标系，用坐标表示出题中的几 何元素，求出圆的标准方