6.7 直线与圆的位置关系-【教与学新方案】2023-2024学年中职数学·基础模块下册

教与学新方案·数学·（第二册） 6.7 直线与圆的位置关系 6.7.1 直线与圆的位置关系的判定 学业要求 能用代数法和几何法两种方法来判断直线与圆的位置关系. 学法建议 本课学习重点是直线与圆的位置关系的判定：难点是直线与圆的位置关系判 定方法的应用：关键是要注意体会数形结合思想和方程思想」 学习中要注意以下几点： 1.判断直线与圆的位置关系，要注意代数方法与几何方法的区别与联系.几 何法中的“形”以及圆与直线公共点个数与代数法中的“数”也就是方程实数解的 个数是对应的，即“圆心到直线的距离d与半径的比较”与“判别式与0的比较”是 对应的. 2.直线和圆的位置关系研究体现了几何法与代数法的结合.从学习思路来 看，代数法侧重于“数”，在于研究“坐标”与“方程”；而“几何法”则侧重于“形”，利 用图形的性质；从适用类型来看，代数法可以求出具体的交点坐标，而几何法更适 合定性比较和较为特殊的运算. 9 知识建构 【情境与问题】 “海上生明月，天涯共此时.”表达了诗人望月思人的深厚情谊.在海天交于一 线的天际，一轮明月慢慢升起，这个过程中，月亮看作一个圆，海天交线看作一条 直线，月出的过程中体现了直线与圆的位置关系. 在平面直角坐标系中，直线与圆都可以用方程来表示，一个点是否在直线上 或圆上，只要看这个点的坐标是否满足它们的方程即可，那么能否利用直线与圆 的方程来研究它们之间的位置关系呢？ 【探究与分析】 在平面几何中（如图6-13），直线与圆公共点个数最多有两个.直线与圆有两 68· 第六章直线与圆的方程 个公共点时称直线与圆相交，此时的直线称为圆的割线：直线与圆只有一个公共 点时称直线与圆相切，此时的直线称为圆的切线，称公共点为切点，直线与圆没有 公共点时，称直线与圆相离。 (2) (3) 图6-13 设直线方程为A.x+By+C=0,圆的方程是(x一a)2+(y-b)2=r2, Ax+By+C=0 将直线方程与圆的方程联立成方程组： (x-a)+y一6)=，方程组的 解即为交点坐标，利用消元法消去一个元后，得到关于另一个元的一元二次方程， 求出其“△”的值，则直线与圆相切台△=0：直线与圆相离台△<0；直线与圆相交 台△>0. 由方程还可得到圆心到直线距离d=Aa+B6+C VA2+B2 (1 (2) (3) 图6-14 由图6-14可知，直线与圆的位置关系还可通过比较圆心到直线的距离d与圆 半径r的大小关系来进行判定，直线与圆相切台d=r;直线与圆相离台d>r;直 线与圆相交台d<r,特殊情形，当d=0时，直线经过圆心. 【建构与生成】 直线Ax+By+C=0与圆(x一a)2+(y一b)2=r2的位置关系及判断. ·69· 教与学新方案·数学·（第二册）】 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 两个 一个 零个 设圆心到直线的距离d=Aa+Bb+C d<rd=rd>r √A+B 判定 联立方程： 方法 (Ax+By+C=0, △>0△=0△<0 (x-a)2+(y-b)2=r2 消元得到一元二次方程的判别式△ 典型例题 例] 已知直线1：x一2y+5=0与圆C:(x-7)2+(y一1)2=36，判断直线 1与圆C的位置关系. 【分析】可联立方程组，根据解的个数来判断，也可根据圆心到直线的距离 与半径比较大小进行判断」 (x-7)2+(y-1)2=36, 【解法一】 由方程组 消去y后整理， x-2y+5=0 得5.x2-50.x+61=0. 因为△=(-50)2-4×5×61=1280>0， 所以该方程组有两组不同的实数解，即直线！与圆C相交. 【解法二】圆心(7,1)到直线1的距离为 d=11x7-2x1+5=25. √12+(-2)2 因为d<r=6,所以直线l与圆C相交. 评注：判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几 何法；若圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法， 例2已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程x2十y2-4x-2y+1=0. 当为何值时，圆与直线只有一个公共点. 【分析】可联立方程组，根据解的个数列出关于m的等式求解，也可根据圆 心到直线的距离与半径的关系列式求解， 【解法一】将直线.x一y一m一1=0代入圆的方程化简整理得， ·70· 第六章直线与圆的方程 (1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0. 因为△=4m(3m+4), 3时，直线与圆相切，且直线与圆只有一个 所以当△=0时，即m=0或m=- 公共点. 【解法二】已知圆的方程可化为(x一2)2+(y一1)2=4， 即圆心为C(2,1),半径r=2. 圆心C(2,1)到直线m.x一y-m一1=0的距离 d=12m-1-m-11_|m-21 √1+m √1+m 当d=2时，即m=0或m=