6.6 圆的方程-【教与学新方案】2023-2024学年中职数学·基础模块下册

第六章直线与圆的方程 B组 一、填空题 1.点P(-2,3)到直线4x十3y+1=0的距离为 2.点P(1,3)到直线y=2x+3的距离为 3.若点(4,0)到直线4x一3y+a=0的距离等于3，则a的值为 4.直线x+y一4=0上的点与坐标原点的距离的最小值是 二、解答题 1.点A(a,6)到直线3.x一4y=2的距离大于4，求a的取值范围. 2.求与直线l:5x-12y+6=0平行且到1的距离为2的直线的方程. 6.6 圆的方程 6.6.1圆的标准方程 学业要求 掌握圆的定义和圆的标准方程，并能解决相关问题，能判断点与圆的位置 关系 ·55· 教与学新方案·数学·（第二册）】 学法建仪 本课学习重点是掌握圆的定义、圆的标准方程，并能解决相关问题：难点是用 定义推导圆的标准方程：关键是体会数形结合的思想，形成用代数的方法解决几 何问题的能力. 学习中要注意以下几点： 1.要注意鉴赏圆的标准方程所蕴含的数学美，应用圆的标准方程解决问题时 要抓住圆的几何要素：圆心坐标和半径大小； 2.要同时掌握求圆的标准方程的两种求法 (1)几何法：利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径， 代入圆的标准方程，从而得到圆的标准方程； (2)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方 程中三个参数，从而确定圆的标准方程。 3.判断点与圆的位置关系时，要灵活选用两种不同的方法：一是用圆心到该 点的距离与半径比较大小，二是代入圆的标准方程，判断与2的大小关系. 知识建构 【情境与问题】 毕达哥拉斯曾说：一切平面图形中圆是最完美的曲线，在历史和我们的生活 中，有很多关于圆的文化，你能举例说说吗？ 你能画出一个圆吗？如何用语言文字来描述圆？确定圆的要素是什么？各 要素与圆有怎样的关系？ 在平面直角坐标系中，每一条直线都可以用一个二元一次方程来表示，平面 直角坐标系中的一个圆，是否也可以用方程来表示呢？如果已知一个圆的圆心为 (a,b),半径为r,你能推导出圆的方程吗？ M(x,) 【探究与分析】 在初中已经学习过圆是平面内到定点的距离为定长 C(u.b) 的点的轨迹，定点称为圆心，定长称为半径 设圆心的坐标为C(a,b),半径为r,点M(x,y)为 圆上的任意一点（如图6-12），则|MC=r, 图6-12 ·56. 第六章直线与圆的方程 由两点间距离公式，得√(x一a)+(y一b)=r, 将上式两边平方，得(x-a)2+(y-b)2=r2. 这表明圆心的坐标为C(a,b),半径为r的圆上的任意一点M(x,y),满足这 个方程；另一方面满足这个方程点M(x,y)与点C(a,b)的距离|MC|=r,即点 M(x,y)在以C(a,b)为圆心，r为半径的圆上. 特别地，当圆心为坐标原点O(0,0)时，半径为r的圆上的任意一点M(x,y) 满足的方程是x2十y2=r2 【建构与生成】 1.方程(x一a)2+(y一b)2=r2称为以点C(a,b)为圆心，以r为半径的圆的 标准方程；当圆心在原点时，方程为x2十y2=r2. 2.点与圆的的位置关系：圆C:(x一a)2+(y一b)2=r2(r>0),其圆心为 C(a,b),半径为r,点P(xoyo),设d=PC|=√(xo-a)2+(yo-b)2. 位置关系d与r的大小 图示 点P的坐标的特点 点在圆外 d>r (x0-a)2+(y0-b)2>r2 点在圆上 d=r (x0-a)2+(y0-b)2=r2 点在圆内 d<r (x0-a)2+(ya-b)2<r2 0 典型例题一 例☐ 求满足下列条件的圆的标准方程 (1)圆心在点C(2,1),半径长是5； (2)圆心在点C(8,-3),且过点P(5,1); (3)已知两点A(一1，一3)，B(3,一1)，以线段AB为直径. ·57· 教与学新方案·数学·（第二册） 【分析】用几何法即利用平面几何知识，求出圆心和半径，然后写出圆的标 准方程 【解】(1)因为圆心在点C(2,1),半径长是√3，所以圆的标准方程为(x一2)+ (y-1)2=3. (2)圆心在点C(8,一3)，且过点P(5,1),由两点间距离公式得r=CP=5,所 以圆的标准方程为(x一8)2十(y+3)2=25. (3)因为已知A(一1，一3)，B(3,一1)，且圆以线段AB为直径，则由中点坐标 公式得圆心C(1,一2)，又由两点间距离公式得r=AC=BC=√5，故圆的标准方程 为(x-1)2+(y+2)2=5. 评注：确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时， 要首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程.确定圆心和半径时，常用到中点坐 标公式、两点间距离公式等 例2 求经过A(4,0),B(0,2),C(0,0)三点的圆的标准方程 【