6.5 点到直线的距离-【教与学新方案】2023-2024学年中职数学·基础模块下册

教与学新方案·数学·（第二册） 6.5 点到直线的距离 学业要求 掌握点到直线的距离公式，能应用点到直线的距离公式解决有关距离计算 问题 学法建仪 本课学习重点是掌握点到直线距离公式，能应用点到直线距离公式解决有关 距离问题；难点是点到直线距离公式的推导思路探求；关键是学会“形”的问题由 “数”的运算来解决的数学思想方法 学习中要注意以下几点： 1.直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式. 2.点在直线上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用. 3.直线方程Ax+By十C=0中，A=0或B=0公式也成立，但此时直线是特 殊直线（与坐标轴垂直），故也可用数形结合求解 S入 知识建构 【情境与问题】 一家乡村饭馆附近新建了一条公路，现在需要铺设一条连接饭馆和公路的道 路那么在理论上怎样铺路可以使这条连接道路的长度最短？最短路程是多少？ 【探究与分析】 现实生活中，常见此类问题，即点到直线的距离问题.例如，在平面坐标系中确 定了点p的坐标P(3,-2)与直线1的方程1：x一2y+3=0,求点p到直线l的距离. 一般方法：第一步，过点P作直线！的垂线，并求出垂线方程：第二步，求两条 直线的交点坐标；第三步，运用两点间距离公式，求出点P与交点间的距离，即得 点P到直线1的距离. 按照这一方法，可以探求一般性结论，已知点P(xoyo)直线l:Ax十By十C =0(A≠0，B≠0)求点P到直线1的距离.（因为平面直角坐标系中点到特殊直线 的距离易求，这里只讨论一般直线的情况) ·50· 第六章 直线与圆的方程 根据定义，点P到直线！的距离是点P到直线l的垂线段 的长，如图6-11， 设过点P与直线1的垂线为'，垂足为Q,由'⊥1可知 的斜率为A, B 图6-11 所以1'的方程：y一y。一A(x一x)与1的方程联立方程组， BC 解得交点Q B2xo-AByo-AC A2yo-ABxo- A2+B2 A2+B2 B2x0-ABy。-AC A2+B2 Ay.A-BC A2+B2 -yo -AC) B2yo-ABxo-BC A2+B2 A2+B2 _A2(Azo+Byo+C)2+B2(Axo+Byo+C)2(Az+By+C)2 (A2+B2)2 A2+B8 所以1PQ|=Axo+By,十C1 √A2+B 【建构与生成】 1.设点P(xo,yo),直线l:Ax十By+C=0,P到l的距离为d,则有d =Azo+Byo+C √A+B 2.点P到几种特殊直线的距离： (1)点P(xa,yo)到垂直于x轴的直线x=a的距离为x。一a； (2)点P(xo,yo)到垂直于y轴的直线y=b的距离为yo-b. 典型例题 例1 求点P(3,一2)到下列直线的距离： 3 (1)y=4x+4 (2)y=6; (3)x=4. 【分析】 根据，点到直线的距离公式即可求得 【解】(1)直线y=+{化为一般式为3x-4y十1=0，由点到直线的距 ·51 教与学新方案·数学·（第二册）】 离公式可得d=3×3-4×(-2)+11_18 √32+(-4)2 5 (2)因为直线y=6与y轴垂直，所以点P到它的距离d=一2-6|=8. (3)因为直线x=4与x轴垂直，所以点P到它的距离d=3一4=1. 评注：第(2)(3)题是借助图形，分别通过点P(x,yo)到垂直于y轴的直线y=b的距 离为|y。一b、到垂直于x轴的直线x=a的距离为x。一a求得，体现了求点到直线距离 的灵活性，不一定局限于公式.当然本题也可以先将直线方程化为一般式，再应用点到直线的 距离公式d=Ar+B,十CL求得. VA+B2 例2 求两条平行线2x十3y一8=0和2x+3y一10=0之间的距离. 【分析】两条平行直线间的距离指的是其中一条直线上任意一点到另一条 直线的距离，因此可先在其中一条直线上取一个坐标数值比较简单的点，再利用 点到直线距离公式求出这个，点到另一条直线的距离即可. 【解】在直线2x+3y一8=0上取点P(4,0),因为点P(4,0)到直线2x+3y 一0的距青为2特0-后吕丽所议丙系平行我2 2 √22+32 /13 y8=0和2x+3y-10=0之间的距离为313 评注：若两条平行直线方程分别为Ax十By十C1=0和Ax+By十C2=0,则它们之间 的距离为d= Ci-C2 ,本题用此公式解决更简便，具体解法如下：已知两直线平行，又因为 VA2+B C=一8，C=一10，由两平行线间的距离公式得d=-8-（-10)1- 2/13 √/22+3 13· 思维拓展 正方形的中心为点C(一1,0)，一条边所在的直线方程是x+3y一5=0，求其 它三边所在的直线方程. ·52· 第六章直线与圆的方程 要点归纳 1.点P(xo,yo)到直线Ax+By+C=0的距离d= 2.两条平行直线l