6.4 两条直线的位置关系-【教与学新方案】2023-2024学年中职数学·基础模块下册

教与学新方案·数学·（第二册） 6.4 两条直线的位置关系 6.4.1 两条直线平行 学业要求 理解两条直线平行的条件，能根据斜率判定两条直线平行，能利用两直线平 行的条件解决问题， 学法建仪 本课学习重点是理解两条直线平行的判定条件；难点是将两条直线平行的问 题转化为研究两条直线斜率的关系问题：关键是体会数形结合、分类讨论思想在 探究平行条件中的应用. 学习中要注意以下几点： 1.判定两条直线平行时，考虑两条直线的斜率，再分类判断是关键步骤. 2.当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1与12的倾斜角都是90°，则11∥12， 知识建构 【情境与问题1】 在初中阶段，我们已经学会了运用几何法对平面内两条直线的位置关系进行 判定，现在我们能否用代数的方法判定两条直线的位置关系呢？ 例如，在平面直角坐标系中，可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的 倾斜程度，那么能否通过倾斜角和斜率来刻画两条直线平行呢？ 【探究与分析1】 一般地，如果两条直线斜率都存在，那么它们的方程分别是11：y=k1x十b1, l2:y=k2x十b2,若它们平行，则它们的倾斜角是同位角并相等，所以斜率相等，所 以l1∥12→k1=k2,且b1≠b2;反之，若k1=k2,且b1≠b2,则L1,l2倾斜角相等 (同位角)，则11∥12，即k1=k2,且b1≠b2→l1∥12.因此，当直线11，l2的斜率分 别为k1,k2时，有l1∥l2台k1=k2,且b1≠b2, 特别的，如果两条直线都平行且垂直于x轴，则两条直线斜率都不存在，反 之，如果两条直线斜率都不存在，则两条直线都垂直于x轴且平行 ·32· 第六章 直线与圆的方程 【建构与生成1】 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 a1=a2≠90° a1=a2=90° 对应关系 L1∥12台直线斜率k1=kz1∥l2←两直线斜率都不存在 图示 【情境与问题2】 直线l1和l2的方程分别为l1:A1x+B1y十C1=0,l2:A2x+B2y十C2=0,且 A1、B1,C1、A2,B2.C2≠0，如果l1∥l2,那么A1、B1,C1与A2,B2,C2间有怎样的 关系？反之成立吗？ 【探究与分析2】 两直线的斜率分别为一 -合如果两直线平行，则会)（一）即 B2 A=B,又因为两直线不重合，所以 A Bi A2 B2 A2 B2 ,反之也成立 【建构与生成2】 1.当直线l1和l2的方程分别为l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0, 且A1.B1.C1.A2.B2.C2≠0时，1∥l2曰 品8 2.与直线Ax+By十C=0平行的直线系方程为：Ax+By+m=0(m≠C). 典型例题 例1 判断下列各组直线是否平行或重合： (1)直线l1:2x-y=0,l2:x+2y-3=0: (2)直线l1:y=x-1.5,l2:2x-2y-3=0; (3)直线l1:x=2,l2:x=-3. 【分析】根据两条直线平行的条件即可判定. ·33· 教与学新方案·数学·（第二册） 【解】(1)由直线2x一y=0可得直线斜率k1=2,在y轴上截距b1=0,由直 线x十2y一3=0可得直线斜率k2=0.5,在y轴上截距b2=1.5,因为k1≠k2,所以 l1与l2不平行； (2)由直线y=x-1.5可得直线斜率k1=1,在y轴上截距b1=-1.5,由直线 2.x一2y一3=0可得直线斜率k2=1,在y轴上截距b2=一1.5，因为若k1=k2,且b =b2,所以l1与l2重合： (3)因为直线x=2与直线x=一3都垂直于x轴，两条直线斜率都不存在，所 以l1∥l2. 评注：当两条直线的斜率相等的时候，若截距也相等，则两直线重合.第一小题 AB1C.A:BC≠0，可以通过A=B≠9判新1∥1 A B。 C 判断两直线是作平行的步紫 都不 肴斜率 横战地 相等 在 重合 不相等 平j 在 是 州等？ 纵截 相等 重合 否 不相等 不平行 平行 例2 判断下列各组直线是否平行. (1)l1经过点A(-1,-2),B(2,1),l2经过点M(3,4),N(-1,-1): (2)11的斜率为1，l2经过点A(1,1),B(2,2); (3)l1经过点A(0,1),B(1,0),l2经过点M(-1,3),N(2,0): (4)l1经过点A(-3,2),B(-3,10),l2经过点M(5,-2),N(5,5). 【分析】斜率存在的直线求出斜率，利用1∥l2台k1=k2进行判断，若两直 线斜率都不存在，可通过直线与x轴位置关系得出结论. 【解】 名二-16=音6：≠山与4：不平行. 2-(-1) (2)k1=1k=名二-1k1=e,故1∥：或1，与1，重合。 2-1 0-1-1,9=22C (3)k1=1-0 0-3 =一1，则有k=k