6.3 直线的一般式方程-【教与学新方案】2023-2024学年中职数学·基础模块下册

第六章 直线与圆的方程 6.3 直线的一般式方程 学业要求 了解直线的一般式方程的形式特征，能求直线的一般式方程，并能在直线方 程的几种形式间相互转化 学法建仪 本课学习重点是二元一次方程与直线之间的联系，各种方程形式之间的互 化；难点是直线与二元一次方程之间对应关系的理解；关键是运用数形结合思想 理解直线的方程与方程的直线的对应关系 学习中要注意以下几点： 1.直线的一般式方程可以表示任何直线，它不受斜率是否存在的限制， 2.直线的一般式方程与特殊形式的方程转化体现了直线方程各种形式之间 的统一性，学习中要注意一般式方程中系数与直线的斜率、截距间的关系. 3.要注意体会直线与二元一次方程之间的对应关系，明确在平面直角坐标系 中，任何一条直线的方程，可以写成关于x,y的二元一次方程；反过来，任何一个 关于x,y的一次方程都表示一条直线， 4.求直线方程时选用适当的形式是关键，不论选择何种形式，注意其本身的 适用范围或局限性是解题的根本. 知识建构 【情境与问题】 根据下列各条件，求出直线的方程，并思考所提的问题： (1)斜率是1，经过点A(1,8): (2)经过两点P(一1,6)，P2(2,9): (3)在y轴上的截距是7，倾斜角是45°： (4)经过点A(2,4)与y轴平行； (5)经过点A(1,4)与x轴平行. 问题1：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用关于x,y的二元一次方程 表示吗？ ·25· 教与学新方案·数学·（第二册）】 问题2：关于x,y的二元一次方程是否一定表示一条直线？对系数有限定条 件吗？ 【探究与分析】 在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角，在α≠90°和α=90°两种情况 下，直线方程可分别写成y=kx十b及x=x1这两种形式，都可变形为Ax十By+ C=0的形式，且A,B不同时为0. 反之，关于x,y的二元一次方程Ax十By+C=0(A,B不同时为0).当B≠0 时，方程可化为y= 合-日，表示斜率为一合在y轴上的藏距为-号的直线特 A 别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线.当B=0时，由A≠0，方程可化成 C x=- ,它表示垂直于x轴的直线 【建构与生成】 方程Ax+By十C=0(其中A、B不同时为0)叫做直线的一般式方程. 当B≠0时，一般式方程Ax十By十C=0可化为斜截式方程y= A C BB' 直线斜率是 B,在y轴上的截距是 C B' 典型例题 例 已知直线l经过点P(一5,6)和点Q(一4,8)，求直线的一般式方程. 【分析】 运用待定系数法，先设直线的一般方程，再代入两个点的坐标即可 求得方程的系数之间的关系，进而得出直线方程 【解】 设直线的一般式方程为Ax+By+C=0,因为直线经过点P(一5,6) 和点Q-4,8),所以有厂5A+6B+C=0 ,解得A=-2B,C=-16B. -4A+8B+C=0 由于点P(一5,6)和点Q(一4,8)两点的横坐标不同，可知直线1与y轴不平 行，即B不为0.所以，直线的一般式方程为2x一y十16=0. 评注：待定系数法是求直线（曲线）方程的常用方法，本题也可以根据已知两点的坐标 先求出直线的斜率为2，再由直线的点斜式方程求出直线方程，最后再整理为直线的一般式， 例2 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程. (1)斜率是√3，且经过点A(5,3): ·26· 第六章直线与圆的方程 (2)斜率为4，在y轴上的截距为一2； (3)经过A(-1,5),B(2,一1)两点； (4)在x轴、y轴上的截距分别是一3，一1. 【分析】先选择合适的形式将直线方程写出来，再化为一般式 【解】(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y一3=√3(x一5)，化为一般 式方程为√3x-y十3-53=0. (2)由斜截式方程可知，所求直线方程为y=4x一2， 化为一般式方程为4x一y一2=0. (3)因为直线经过A(一1,5)，B(2,一1)两点，所以斜率k=一2， 由点斜式方程可知，所求直线方程为y+1=一2(x一2)， 化为一般式方程为2x+y-3=0. (4)因为直线在x轴、y轴上的截距分别是一3，一1.直线经过A(一3,0)，B(0, -1D两点，所以斜率及=了由斜载式方程可知，所求直线方程为y= 3x-1, 化为一般式方程为x+3y十3=0. 评注：求直线方程时，结果在未作要求的情况下一般都整理成一般式，其形式一般作如 下设定：x的系数为正；系数及常数项一般不出现分数；一般按含x项、含y项、常数项的顺序 排列. 思维拓展 在方程Ax+By十C=0(A,B不同时为零)中，A,B,C分别为何值时，方程 表示的直线 (1)平行于x轴：(2)平行于y轴；(3)与x轴重合；(4)与y轴重合. ·27· 教与学新方案·数学·（第二册）】 要点归纳 1