6.1 两点间距离公式和线段的中点坐标公式-【教与学新方案】2023-2024学年中职数学·基础模块下册

第六章 直线与圆的方程 第六章 直线与圆的方程 6.1 两点间距离公式和线段的中点坐标公式 6.1.1 两点间距离公式 #7#学业要求# 理解两点间距离公式,会运用两点间距离公式进行简单的计算 学法建议 本课学习重点是掌握两点间距离公式;难点是两点间距离公式的推导;关键 是体会在直角坐标系中“数”和“形”相互转化的思想 学习中要注意以下几点 1. 对干两点间距离公式,不仅要了解公式的内容,还要能用文字语言描述每 一个公式. 2. 公式推导的关键是将坐标系中任意两点的横坐标、纵坐标进行“投影”,“构 造”直角三角形(解决问题方法;将“未知”转化为“已知”来解决),从而得出两点 间距离公式. 3. 要注意鉴赏公式所蕴含的数学美;两点间距离公式在计算横坐标差及纵坐 标差的平方和后需要进行开方运算,最终结果是非负数 4. 在两点间距离公式中,交换x.与x、v与v。的位置,公式仍然成立 知识建构 【情境与问题】 n、”分别表示东西走向和南北走向的两条互相垂直的马路,小明家在上离 交叉口正东方向1公里处,小军家在加上离交叉口正东方向3公里处,小丽家在; 上离交叉口正北方向4公里处,运用几何方法可求出小明家和小军家之间的距离 小军家和小丽家之间的距离 我们知道数轴上的点与实数是一一对应的,其上任意两点间的距离如何计 .1. 教与学新方案·数学·(第二册) 算?如果在平面直角坐标系中,两点间的距离与坐标又有什么样的关系呢? 【探究与分析】 x轴上两点P(x,0),P。(x。,0)之间的距离可以表示为PP= |x2-x |. 当点P。在点P的右侧时,PP=x。一x;同理,当两点都在y轴上时,也有类似的 公式. 一般地,设点P(x,y),P。(x,y)为直角 P(x,) 坐标平面上的任意两点如图6-1,如果x子x, y子y,过P,P。分别向y轴、x轴作垂线,两条 垂线交于点Q.这样,PP。就是Rt△PP。Q的斜 P(x) 边,并且根据勾股定理,在Rt△PP。Q中 PP-PQ+PQ2 -(x。-x)②十(y2-y)2 从而 PP。-(x2-x)2十(y-y){2}. 图6-1 可以验证,当x一x。或y一y。时,上式仍成立 【建构与生成】 设点P(x.,v),P。(x。,v。)是平面直角坐标系内任意两点,则P.P。两点 间距离公式: IPP。l-V(x2-x1)*十(y2-y)2} 两点间距离的特殊情况; (1)任一点P(,y)与原点O(0,0)的距离|OPl-十{}. (2)当PP/轴(y=y)时,|PP。|=lx2-x|. (3)当PP/y轴(x1=x)时,|PP-y-y. ##典题 求下列两点间的距离 (1)A(-1,3),B(1,2); (2)C(6,0),D(-2,0). 【分析】 根据两点间的距离公式即可求得 【解】(1)由两点间的距离公式,得 |AB= (-1-1)+(3-2)*=\5,即AB两点间的距离为5. 2. 第六章 直线与圆的方程 (2)CD1--2-6-8. 评注:在运用两点间距离公式时,为计算方便,可交换x,与x。或者y:与y。的位置,结 果一样;若两点横坐标或纵坐标数字相同,可用两点纵坐标或横坐标差的绝对值进行计算。 2 已知△ABC三点分别是A(2,4),B(-1,1),C(5,3) (1)求△ABC三条边的长 (2)如果AD一3,D(2,n),求n的值 【分析】(1)已知点A、B、C坐标,由两点间距离公式即可求得三条边的长. (2)根据两点间的距离公式列关于n的方程即可求得 【解】(1)根据两点间距离公式,可得△ABC三条边的长分别为 |AB-(-1-2)2+(1-4)2-3/2, BC- (5+1)*+(3-1)*= 40=2 10. 1AC- (5-2)+(3-4)*-/10. (2)由AD一3,根据两点间距离公式得,(2-2){②}十(m-4)^{②}-3, 解之得n-1或7. 评注:由AD一3可知,点D在以A为圆心,半径为3的圆上,由D(2,m)知,点D在x 2的直线/上,(2)的解表明,圆A与直线/有两个交点; 思维拓展 已知平面直角坐标系中的两点分别是A(2,2)、B(一1,一2),若点P在x轴 上,且PA三PB,则如何求点P的坐标呢? #2# 要点归纳 设点P(x,v)、P。(x,v),则两点间距离公式:P.P。= .3 教与学新方案·数学·(第二册) ### 达标练习 A组 一、选择题 ( 1.已知两点A(1,2),B(-4,2),则 AB 等于 ) A.4 B.5 C.6 D.2/3 2. 已知两点A(2,-8),B(-3,4),则 |AB |等于 ( __~ A.3/2 C. 13 B. 12 D.5 二、填空题 1.已知两点A(1,-2),B(1,5),则|AB |= 2.已知两点E(3,-4