9.3 正态分布（课件PPT）-【教与学新方案】2023-2024学年中职数学·拓展模块一下册（高教版2021）

9.3 正态分布 第九章 随机变量及其分布 9.3.1 正态密度曲线及性质 了解正态分布的概念与正态曲线,了解利用标准正态分布表计算服从标准正态分布的随机变量的概率. 学业要求 本课学习重点是理解正态分布的概念与正态曲线;难点是理解正态曲线的性质;关键是利用标准正态分布表计算服从标准正态分布的随机变量的概率. 学习中要注意以下几点: 1.要熟悉正态曲线,理解地记忆正态曲线的性质,特别要掌握μ和σ所表示的意义. 2. P(ξ < x) = P(ξ ≤ x),因为对于线段ξ = x没有面积可言. 学法建议 【情境与问题1】 如图9-1所示为高尔顿钉板实验的示意图,每一圆点表示钉在木板上的一颗钉子,所有相邻钉子之间的距离相等.在入口处放入一个直径小于两颗钉子之间距离的小圆球,在小圆球向下降落的过程中,碰到钉子后皆以的概率向左或向右滚下,直到最后落入木板下方的空槽内,试作小球落入空槽内的频率分布直方图. 知识建构 图9-1 【探究与分析1】 把空槽从左向右分成共间段,根据实验数据可得如图9-2所示的频率分布直方图. 如果把上述小球落入的共间从左向右编号为1, 2, ... , 10,那么区间的编号ξ可以看作离散型随机变量. 若将相邻钉子之间的距离逐渐缩小,则上述频率分布直方图中的折线就会越来越像一条钟形曲线,那么这条曲线是否存在函数解析式呢? 图9-2 【建构与生成1】 我们把上述钟形曲线,称为正态曲线.相应于上述正态曲线,其随机变量ξ的取值范围是一个区间,称这样的随机变量为连续型随机变量. 我们称f(x) = , x∈R,其中μ∈R, σ＞0为参数,为正态密度函数,称它的图像为正态密度曲线,简称正态曲线． 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布,记为X ~ N(μ , σ2).特别地,当μ = 0, σ = 1时,称随机变量X服从标准正态分布. 【情境与问题2】 如图9-3画出的是μ = 0时的某些正态曲线,观察曲线,你能说说它们的特点吗? 图9-3 【探究与分析2】 探究发现曲线有以下特点: (1)曲线都在x轴上方,且具有对称性; (2)曲线具有最高点; (3)曲线的形状与σ的取值有关. 【建构与生成2】 正态曲线具有以下性质: (1)曲线在x轴上方,并且关于直线x = μ对称． (2)曲线在x = μ时处于最高点,呈现“中间高,两边低”的钟形形状． (3)当μ 确定时,曲线的形状依赖于σ的取值. σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散; σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中. (4)曲线与x轴之间的面积为1. (5)正态分布的期望与方差:若X ~ N(μ , σ2),则E(X) = μ, D(X) = σ2. 当随机变量ξ服从标准正态分布时,将ξ的取值小于x的概率记作Φ(x),即Φ(x) = P(ξ＜x),其几何意义是图9-4中阴影部分面积.一般地,可通过查标准正态分布表得到． 可以证明Φ(x)有如下性质:Φ(－x) = 1－Φ(x). 图9-4 【例1】某工厂有甲、乙两条生产线生产同一型号的机械零件,产品的尺寸分别记为X , Y,已知X , Y均服从正态分布, X ~ N(μ1 , ), Y ~ N(μ2, ),其正态分布密度曲线如图9-5所示,则下列结论中正确的是 ( ) A.甲生产线产品的稳定性 高于乙生产线产品的稳定性 B.甲生产线产品的稳定性 低于乙生产线产品的稳定性 C.甲生产线的产品尺寸平均值大于乙生产线的产品尺寸平均值 D.甲生产线的产品尺寸平均值小于乙生产线的产品尺寸平均值 典型例题1 图9-5 【解】由图知甲、乙两条生产线的平均值相等,甲的正态分布密度曲线较瘦高,所以甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性.所以本题选A. 【评注】正态曲线中,平均值和对称轴位置有关,数据集中程度和曲线的形状(“矮胖”或“瘦高”)有关. 【例2】若