8.5 二项式定理（课件PPT）-【教与学新方案】2023-2024学年中职数学·拓展模块一下册（高教版2021）

8.5 二项式定理 第八章 排列组合 8.5.1 二项式定理 了解二项式定理的推导过程及二项展开式的特征,了解二项展开式的通项公式. 学业要求 本课学习重点是了解二项式定理的推导过程,记住二项展开式的特征;难点是掌握二项展开式的通项公式;关键是灵活运用二项展开式的通项公式进行解题. 学习中要注意以下几点: 1.要注意(a+b)n的二项展开式有n+1项,通项为第k+1项, Tk+1= (k∈{0, 1, 2, ... , n}). 2.要注意二项展开式中二项式系数与系数的区别. 学法建议 【情境与问题】 根据多项式乘法法则,(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2, (a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b) = a×a×a + a×a×b + a×b×a + a×b×b + b×a×a + b×a×b + b×b×a + b×b×b = a3 + 3a2b + 3ab3 + b3. 按照这个方法,我们能否求出(a + b)4的展开式呢? 知识建构 【探究与分析】 按多项式乘法展开的规律, (a + b)4 = (a + b)(a + b)(a + b)(a + b) 可以看到, (a + b)4是由4个(a + b)相乘,根据多项式乘法法则,其结果的每一项都是由4个(a + b)中各取一项相乘得到的,均为4次式.按所含字母的次数降幂排列为: a4, a3b, a2b2, ab3, b4. 4个(a + b)都不选b的选法有种,得到a4的系数为; 4个(a + b)中有1个选b, 3个选a的选法有种,得到a3b的系数为; 4个(a + b)中有2个选b, 2个选a的选法有种,得到a3b的系数为; 4个(a + b)中有3个选b, 1个选a的选法有种,得到a3b的系数为; 4个(a + b)中都选b的选法有种,得到b4的系数为. 因此,(a + b)4 = a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4. 【建构与生成】 按上述思路,可以得到:对于任意实数a,b 和任意正整数n,有 (a + b)n = an + + ... + + ... + bn.(＊) 上述公式称为二项式定理． (＊)式的右端为二项展开式,其中(k∈{0, 1, 2, ... , n})称为二项式系数.(＊)式中的第k + 1项 称为二项展开式的通项,记作Tk+1,即Tk+1 = . 【例1】(1)写出(a + b)6的展开式; (2)写出(2 + x)n的展开式. 典型例题1 【解】(1)因为 = = 1, = = 6, = = 15,所以(a + b)6 = a6 + a5b + a4b2 + a3b3 + a2b4 + ab5 + ab6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + ab6. (2)在二项式定理中令a = 2, b = x,可得 (2 + x)n = 2n + + + ... + + ... + xn. 【评注】(a + b)n的展开式有n + 1项,各项中a与b的指数的和为幂指数n. 【例2】(1)求(2x－3)n的展开式的第6项的系数; (2)求(x－)6的展开式中含x4的二项式系数. 典型例题2 【解】(1) (2x－3)n的展开式的第6项是T5+1 = = 2916x. 所以,展开式第6项的系数是 －2916. (2) (x－)6的展开式的通项是Tk+1 = = . 依题意,得6－2k = 4,解得k = 1. 即展开式中含有x4的项为第2项,此项的二项式系数为 = 6. 【评注】(1)一个二项展开式中某一项的系数与这一项的二项式系数是两个不同的概念.二项式通项公式:Tk+1 = (k = 0, 1, 2, 3, ... , n),它表示的是二项式的展开式的第k + 1项,而不是第k项;其中叫二项式展开式第k + 1项的二项式系数,而二项式展开式