8.3 组合与组合数公式（课件PPT）-【教与学新方案】2023-2024学年中职数学·拓展模块一下册（高教版2021）

8.3 组合与组合数公式 第八章 排列组合 8.3.1 组合的概念 理解组合的定义,正确认识组合与排列的区别与联系. 学业要求 本课学习重点是理解组合的定义;难点是正确认识组合与排列的区别与联系;关键是通过实例理解清楚组合的概念和特点． 学习中要注意以下要点: 1.组合的特点是只选不排,即组合只是从n个不同元素中任意取出m(m ≤ n)个不同的元素． 2.只要两个组合中的元素完全相同,不管顺序如何,这两个组合就是相同的组合. 3.判断排列与组合的依据是看是否与顺序有关,与顺序有关的是排列问题,与顺序无关的是组合问题. 学法建议 【情境与问题1】 解答下面两个问题: (1)从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动,有多少种不同的选法? (2)从4道习题中任意选做2道,有多少种不同的选法? 这两个问题与排列问题有什么区别? 知识建构 【探究与分析1】 可以采用枚举法将所有可能的选法都列出来:甲乙、甲丙、乙丙,即共有3种不同的选法． 对于问题(2),将这4道题分别记为①,②,③,④,也可以采用枚举法将所有可能的选法都列出来:{①,②}{①,③}{①,④}{②,③}{②,④}{③,④},即共有6种不同的选法. 通过上面的讨论,我们发现,这两个问题有一个共同的特征:与所选元素的顺序无关． 将具体背景舍去,上述问题可以概括为: (1)从3个不同的元素中取出2个元素作为一组,一共有多少个不同的组? (2)从4个不同的元素中取出2个元素作为一组,一共有多少个不同的组? 这就是我们要研究的问题. 【建构与生成1】 一般地,从n个不同元素中任意取出m(m ≤ n)个元素为一组,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.我们把有关求组合个数的问题叫作组合问题． 在上面的讨论中,问题(1)是从3个不同的元素中任意取出2个元素的组合问题,问题(2)是从4个不同的元素中任意取出2个元素的组合问题． 【情境与问题2】 你能说一说排列与组合之间的联系与区别吗? 【探究与分析2】 从排列与组合的定义可以知道,两者都是从n个不同元素中取出m(m ≤ n)个元素,这是它们的共同点.但排列与元素的顺序有关,而组合与元素的顺序无关.只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的;而两个组合只要元素相同,不论元素的顺序如何,都是相同的． 例如,在上述探究问题中,“甲乙”与“乙甲”的元素完全相同,但元素的排列顺序不同,因此它们是相同的组合,但它们是不同的排列. 由此,以“元素相同”为标准分类,就可以建立起排列和组合之间的对应关系,如图8-6所示. 由此,问题1的6个排列可以分成每组有2个不同排列的3个组,也就是上面探究问题的3个组合. 图8-6 【建构与生成2】 从n个不同元素中取出m(m ≤ n)个元素的计数问题,往往先要判断是排列还是组合问题,判断的关键在于是否与元素的顺序有关.如果与元素的顺序有关,则是排列问题,如果与元素的顺序无关,则是组合问题. 【例1】写出从a, b, c, d, e这四个字母中,任意取出2个字母的所有组合. 典型例题1 【分析】可以通过画示意图的方法来求解,确保不重复、不遗漏. 【解】先画出示意图8-7如下: 由此可以写出所有组合:ab, ac, ad, ae, bc, bd, be, cd, ce, de. 图8-7 【例2】下面的问题中,哪些是排列问题? 哪些是组合问题? (1)在50人的班级中,选举正、副班长,学习委员,生活委员和文体委员各1人组成班委,有多少种组成方案? (2)在50人的班级中,选举5人参加团代会,有多少种选法? 典型例题2 【解】(1)从50名学生中选出5人,若5人的分工不同则班委的组成方案也不同,因此与顺序有关,是一个排列问题． (2)从50名学生中选出5人参加团代会,与选取顺序无关,是一个组合问题． 【分析】 根据题意,由排列、组合的定义依次分析,即可得到答案. 【例3】平面内有A, B, C, D 共4个点. (1)以其中2个点为端点的