8.2 排列与排列数公式（课件PPT）-【教与学新方案】2023-2024学年中职数学·拓展模块一下册（高教版2021）

8.2 排列与排列数公式 第八章 排列组合 8.2.1 排列的概念 理解排列问题的特点,理解排列的概念． 学业要求 本课学习重点是理解排列的概念;难点是从具体问题中寻找共同特征,从而归纳出排列的概念;关键是理解排列问题的特点． 学习中要注意以下要点: 1.按照排列的概念,排列与元素的顺序有关． 2.两个排列相同的充要条件是:两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同. 学法建议 【情境与问题】 解答下面两个问题: (1)从1, 2, 3这3个数字中,每次取出2个排成一个两位数,共可得到多少个不同的两位数? (2)北京、上海、重庆、广州四个城市相互通航,应该有多少种机票? 这两个问题,有什么共同特征? 知识建构 【探究与分析】 对于问题(1),我们可以尝试采用枚举的方法,于是可以得到12, 13, 21, 23, 31, 32共6种排法． 当然,也可以换个方法解决这个问题,从3个数字中,每次取出2个,按“十位,个位”的顺序排成一列,就得到一个两位数,因此,有多少种不同的排列方法就有多少个不同的两位数.可以分两个步骤来解决这个问题: 第一步,确定十位上的数字,从1, 2, 3这3个数字中任取1个,有3种方法; 第二步,确定个位上的数字,当十位上的数字确定后,个位的数字只能从余下的2个数字中去取,有2种方法． 根据分步计数原理,从1, 2, 3这3个数字中,每次取出2个,按“十位,个位”的顺序排成一列,不同的排法种数为3×2 = 6. 如果把上面问题中被取出的对象叫作元素,那么问题可叙述为:从3个不同的元素a, b, c中任意取出2个,并按一定的顺序排成一列,共有多少种不同的排列方法? 所有不同的排列是ab, ac, ba, bc, ca, cb, 不同的排列方法种数为3×2 = 6. 对于问题(2),也可以用两种方法解决． 方法1(枚举法): 列出每一个起点和终点的情况,一共有12种机票． 方法2(分步计数法): 第一步,确定起点站,有4种选择; 第二步,确定终点站,对应于起点站的每一种选择,终点站都有3种选择. 根据分步计数原理,一共有4×3 = 12种机票. 同样,问题(2)可以归结为: 从4个不同的元素a, b, c, d中任意取出2个,并按照一定的顺序排成一列,共有多少种不同的排列方法? 所有不同的排列是ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc, 不同的排列方法种数为4×3 = 12. 【建构与生成】 问题(1)和问题(2)都是研究从一些不同元素中取出部分元素,并按照一定的顺序排成一列的方法数. 一般地,从n个不同元素中,任取m(m ≤ n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.我们把有关求排列个数的问题叫作排列问题． 在上面的探究中,问题(1)是从3个不同元素中取出2个元素的排列问题,问题(2)是从4个不同的元素中取出2个元素的排列问题． 【例1】判断下列问题是否为排列问题: (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同); (2)某班40名学生在假期相互通信; (3)由40位学生组成的班级中,选5个人分别担任正班长、副班长、生活委员、文体委员、学习委员组成班委,有多少种不同的组成方法? (4)由40位学生组成的班级中,选10个人组成一个学习小组,有多少种不同的组成方法? 典型例题1 【解】 (1)票价只有三种,虽然机票是不同的,但票价是一样的,不存在顺序问题,所以不是排列问题． (2)A给B写信与B给A写信是不同的,所以存在着顺序问题,属于排列问题． (3)每个人的职务不同,例如甲当班长或当学习委员是不同的,存在顺序问题,所以是排列问题． (4)不存在着顺序问题,不属于排列问题． 【评注】判断一个问题是否为排列问题,主要从“取”与“排”两方面考虑． (1)“取”:检验取出的m个