7.4 数列应用举例（课件PPT）-【教与学新方案】2023-2024学年中职数学·拓展模块一下册（高教版2021）

7.4 数列应用举例 第七章 数列 7.4.1 数列在生产中的应用举例 掌握从实际情境中抽象出等差数列和等比数列模型,能通过数学建模,解决与等差数列、等比数列有关的简单实际问题. 学业要求 本课学习重点是等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式在生产实际问题中的具体应用;难点是对生产实际问题的数学抽象与建模;关键是能通过数学建模,解决与等差数列、等比数列有关的生产实际问题． 学习中要注意解数列应用题的具体方法步骤: (1)认真审题,准确理解题意,达到如下要求: ①明确问题属于哪类应用问题,即明确是等差数列问题还是等比数列问题还是含有递推关系的数列问题.确定是求通项公式an,或是求前n项和Sn,还是求项数n,特别要注意准确弄清参数是多少. 学法建议 ②弄清题目中主要的已知事项． (2)抓住数量关系,联想数学知识和数学方法,恰当引入参数变量,将文字语言翻译成数学语言,将数量关系用数学式子表达． (3)将实际问题抽象为数学问题,将已知与所求联系起来,列出满足题意的数学关系式． 【情境与问题】 在生产实际中,有很多问题都可以转化为数列问题,然后用数列的知识求解.比如,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,根据规划, 2018年投入1000万元,以后每年投入将比上一年减少,本年度当地旅游业收入估计为500万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加. 知识建构 问题1:设n年内(2018年为第一年)总投入为Sn万元,旅游业总收入为Tn万元,写出Sn, Tn的表达式． 问题2:至少到哪一年,旅游业的总收入才能超过总投入? (参考数据:lg 2 = 0.3010, lg 3 = 0.4771, lg 5 = 0.6990) 【探究与分析】 对于问题1: 2018年投入为1000万元,第n年投入为1000×(1－) 所以n年内的总投入为: Sn = 1000 + 1000(1－) + ... + 1000(1－)n－1 = = 5000[]. 2018年收入为500万元,第2年收入为500×(1 + )万元,第n年收入为500×(1 + )n－1万元. 所以, n年内的总收入为: Tn = 500 + 500×(1 + ) + ... + 500×(1 + )n－1 = = 2000[]. 对于问题2:设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入,由此Tn－Sn > 0, 即2000×[]－5000×[] > 0. 化简得5× + 2× > 0, 设x = ,代入上式得5x2－7x + 2 > 0, 解此不等式,得x < 或x > 1(舍去)． 即 > ,由此得n ≥5． 所以至少到2022年旅游业的总收入才能超过总投入. 【建构与生成】 用数列知识解相关的实际问题,关键是列出相关信息,合理建立数列模型,判断是等差数列还是等比数列模型;求解时,要明确目标,即搞清是求和、求通项,还是解递推关系问题,所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题,还是最值问题,然后将经过数学推理与计算得出的结果,放回到实际问题中进行检验,最终得出结论. 【例1】某工厂为扩大生产规模,今年年初新购置了一条高性能的生产线,该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加,第1年的维护费用是4万元,从第2年到第7年,每年的维护费用均比上年增加2万元,从第8年开始,每年的维护费用比上年增加25％. (1)设第n年该生产线的维护费用为an,求an的表达式; (2)若该生产线前n年每年的平均维护费用大于12万元时,需要更新生产线,求该生产线前n年每年的平均维护费用,并判断第几年年初需要更新该生产线. 典型例题1 【解】(1)当n ≤ 7时,数列{an}是首项为4,公差为2的等差数列, an = 4 + 2(n－1) = 2n + 2, 当n ≥ 8时,数列{an}是首项为a8,公比为的等比数列,又a7 = 16, a8 = 16×,所以an = 16×()n－7, 所以an的表达式为an = n∈N∗. (2)设Sn表示数列{