7.3 等比数列（课件PPT）-【教与学新方案】2023-2024学年中职数学·拓展模块一下册（高教版2021）

7.3 等比数列 第七章 数列 7.3.1 等比数列的概念 理解等比数列的概念;能体会等比数列及有关概念的抽象过程． 学业要求 本课学习重点是理解等比数列的定义;难点是能运用概念判断一个数列是否是等比数列和能运用等比数列的概念求出数列中的一些项;关键是能体会等比数列定义的数学符号语言的表达形式． 学习中要注意以下几点: 1.定义中“每一项与它的前一项的比”这一运算要求是指“相邻且后项除以前项”,强调了:①作商的顺序;②这两项必须相邻． 2.定义中的“同一非零常数”是指全部的后项除以前一项都等于同一个非零常数,否则这个数列不能称为等比数列． 学法建议 【情境与问题】 观察下面的数列,它们有什么共同特点? 1.将2的正整数指数幂从小到大排成一列数为 2, 22, 23, 24, 25, ... ． ① 2.将一张面积为1m2的纸对折若干次,每对折一次其面积是原来的一半,写出每次对折后面积所构成的数列． 1, , , , , ... . ② 知识建构 【探究与分析】 对于数列①,从第2项起,每一项与它前一项的比分别等于 ; 从第2项起,每一项与它前一项的比都等于2. ... ... 2 2 2 2 对于数列②,从第2项起,每一项与它前一的比分别等于 ; ... ... 从第2项起,每一项与它前一项的比都等于. 共同的特点:从第2项起,每一项与它前一项的比都等于同一个常数.这样的数列称为什么数列呢? 【建构与生成】 1.如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数,那么这个数列就叫作等比数列.这个常数叫作等比数列的公比.公比通常用字母q(q ≠ 0)表示． ①数学符号语言 = q (q为常数, n∈N∗) ② q ≠ 0, an ≠ 0. 2.由等比数列的定义知,数列除末项外的每一项都可能作分母,故每一项均不为0,因此公比也不为0,由此可知,若数列中有“0”项存在,则该数列不可能是等比数列. 3.“从第2项起”是因为首项没有“前一项”,同时注意公比是每一项与其前一项之比,前后次序不能颠倒． 4.定义中的“同一个常数”是定义的核心之一,一定不能把“同”字省略. 5.公比可以是正数(每一项同号)、负数(每一项符号正负交替出现);既是等差数列又是等比数列的数列是非零的常数列. 【例1】判断下列数列是否为等比数列,若是,请指出首项a1和公比q. (1) 1, 2, 8, 32, 128, ... ; (2) , , , , , ... ; (3) 2, 2, 2, 2, ... ; (4) 0, 0, 0, 0, 0, 0． 典型例题1 【解】(1)不是等比数列;(2)是等比数列, a1 =, q =; (3)是等比数列, a1 = 2, q = 1;(4)不是等比数列． 【评注】要判断一个数列是否是等比数列,可以从定义直接入手,即看这个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比值是不是都等于同一个非零常数. 【例2】求出下列等比数列中的未知项:(1) 4, a, 16;(2) 4, b, c, . 典型例题2 【分析】根据等比数列定义知 = q (q为常数, n∈N∗),即 = = = . 所以此题可利用上式关系列方程来求解. 【解】(1)根据题意,得 = ,所以a = 8或a =－8. (2)根据题意,得解得所以b =－2, c = 1. 【解】已知等比数列中的两项,求其他项,可运用等比数列定义,建立含未知项的方程或方程组进行求解. 已知a1, a2, a3, ... , an是公比为q的等比数列,新数列an,an－1,an－2, ... , a2, a1也是等比数列吗? 如果是,公比是多少? 思维拓展 要点归纳 1.一般地,如果一个数列从第2项起,