6.5 三角计算的应用（课件PPT）-【教与学新方案】2023-2024学年中职数学·拓展模块一下册（高教版2021）

6.5 三角计算的应用 第六章 三角计算 6.5.1 三角计算的应用(1) 能把一些简单的实际问题转化为数学问题,并能应用和角公式、正弦型函数及相关的三角公式解决问题． 学业要求 本课学习重点是运用和角公式、正弦型函数等解决问题;难点是将实际问题转化为数学问题;关键是要明确已知条件和所求问题,理清相关量与量之间的关系． 学习中要注意以下几点: 1.注意准确理解题意,分清已知条件与所求,将实际问题抽象成正弦型函数模型; 2.将正弦型函数的解还原为实际问题,注意实际问题中的单位、近似计算要求． 学法建议 【情境与问题】 如图6-24,半圆O的直径为2, A 为直径延长线上的一点, OA = 2, B 为半圆上任意一点,以AB为一边作等边三角形ABC.点B在什么位置时,四边形OACB 面积最大? 知识建构 图6-24 【探究与分析】 如图6-24中,四边形的面积由点 B 的位置确定,而点 B 由∠AOB确定,因此可设∠AOB = α,再用α 的三角函数来表示四边形OACB的面积． 设 ∠AOB = α, 在△AOB中,由余弦定理,得 AB2 = 12 + 22 －2×1×2cos α = 5－4cos α． 于是四边形 OACB 的面积为 S = S△AOB + S△ABC = OA · OBsin α + AB2 = ×2×1×sin α + (5－4cos α) = sin α－cos α + = 2sin(α－) + . 因为 0 ＜ α ＜ π, 所以当α－ = 时, α = , 即∠AOB = 时,四边形OACB的面积最大． 【建构与生成】 在利用三角函数解决实际问题中的最大值或最小值时,可根据已知条件将所求问题表达为某个角(变量)的正弦和余弦的代数和,然后通过引设辅助角将其转化为Asin(ωx + Φ) + B 的形式,再根据角(变量x)的给定范围,讨论求解． 【例1】如图6-25,在半径为3、圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P,作扇形的内接矩形PNMQ,使点Q 在OA上,点 N, M 在OB上,设矩形PNMQ 的面积为y, (1)按下列要求写出函数的关系式: ① 设PN = x,将 y 表示成 x 的函数关系式; ② 设∠POB = θ,将 y 表示成 θ 的函数关系式． (2)请你选用(1)中的一个函数关系式,求出 y 的最大值. 典型例题1 图6-25 【分析】第(1)小题根据题意用含自变量的式子表示出 MN 和 PN,进而表示出矩形的面积.第(2)小题选择含 θ 的函数关系式,通过二倍角、和角公式将函数表达式转化成正弦型函数形式,再运用相关性质即可求得最大值． 【解】(1)① 因为ON = = , OM = x, 所以 MN = －x, 所以y = (－x), x∈(0 , ). ② 因为PN = sin θ, ON = cos θ, OM = ×sin θ = sin θ, 所以 MN = ON－OM = cos θ－sin θ, y = sin θ(cos θ－sin θ), 即y = sin θcos θ－ sin2 θ, θ∈(0 , ). (2)选择y = sin θcos θ－ sin2 θ = sin(2θ + )－, 因为θ∈(0 , ),所以2θ + ∈( , ),所以ymax = . 【评注】在运用正弦型函数求解实际问题的最值时,要注意角的取值范围． 【例2】如图6-26,它表示电流I = Asin(ωt + φ)在一个周期内的图像． (1)试根据图像写出y = Asin(ωt + φ)的解析式． (2)在任意一段s的时间内,电流 I 既能取得最大| A |,又能取得最小值－| A |吗? 典型例题2 图6-26 【分析】第(1)问是已知图像求解析式,关键是抓住图像上五个特殊点的位置.一般观察图像即可求出A;由图像上五个特殊点中的两个的横坐标可求 T,进而可求ω;由五个特殊点中一个的位置,列出方程可求φ.第(2)问实际上是看在任意一段s的时间间隔里,电流 I 是否至少经