6.3 正弦型函数的图像和性质（课件PPT）-【教与学新方案】2023-2024学年中职数学·拓展模块一下册（高教版2021）

6.3 正弦型函数的图像和性质 第六章 三角计算 6.3.1 正弦型函数的概念及图像画法 理解正弦型函数的概念,会用五点法画出函数 y = Asin(ωx + φ)的图像． 学业要求 本课学习重点是理解正弦型函数的概念与图像画法;难点是用五点法画正弦型函数的图像;关键是弄清如何用变量代换的办法确定关键的五点． 学习中要注意以下几点: 1.要注意理清正弦型函数中振幅、周期、频率、相位、初相等概念． 2.“五点法”作图要抓住五个关键点,使函数中ωx + φ取0, , π, , 2π,然后求出相应的x , y值． 学法建议 【情境与问题】 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图描绘了筒车的工作原理,如图6-5所示,筒车的半径为5m,筒车圆心O 距离水面2m,已知筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈,如果当筒车上点 P 从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间,问点 P 距离水面的高度h (m)与时间t (s)之间满足怎样的函数关系． 知识建构 图6-5 【探究与分析】 如图6-6,由筒车的半径为4m, 筒车圆心O距离水面2m, 易得角∠xOP0 = , 所以－是以Ox为始边, OP0为终边的角. 由OP 在t s内转过的角为t = t, 图6-6 可知以Ox为始边, OP为终边的角为t－ , 则P点的纵坐标为4sin(t－ ), 所以点P距离水面的高度h(m)表示为时间t(s)的函数是 h = 4sin(t－ ) + 2. 【建构与生成】 1.形如 y =A sin (ωx + φ)(其中A, ω, φ都是常数, A＞0, ω ＞0)的函数称为正弦型函数. 在物理学的简谐振动中,函数 y =A sin (ωx + φ), x∈[0,+ ∞) 表示一个振动量时, A 就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离,通常称为这个振动的振幅;往复振动一次所需的时间 T = 称为这个振动的周期;单位时间内往复振动的次数 f = = 称为振动的频率; ωx + φ 称为相位; x = 0时的相位,即φ 称为初相． 2.用“五点法”作 y =A sin (ωx + φ)的简图,主要是通过变量代换,设z = ωx + φ,由z取0, , π, , 2π,来求出相应的x,通过列表,计算得出五个关键点坐标(包括最高点、最低点和与x轴的三个交点),描点后得出图像.五个关键点如下表所示: x － － + － ωx + φ 0 π 2π y =A sin (ωx + φ) 0 A 0 －A 0 【合作交流】 如图6-7,在正弦函数 y = sinx图像上,起关键作用的点有:(0 , 0), ( , 1),(π , 0), ( , －1), (2π , 0),利用这五个点画出函数的简图,把这种方法称为“五点法”． 图6-7 如何通过变量代换,用“五点法”作 y =A sin (ωx + φ)的简图? 【例1】函数 y = 4sin (2x ),当它表示一个振动量时,求出它的振幅、周期、频率、相位、初相． 典型例题1 【分析】根据函数表达式和相关物理概念可以直接得出． 【解】由振幅、周期、频率、相位、初相的定义可知, 函数 y = 4sin (2x )的振幅 A = 4,周期T = = π,频率 f = , 相位是2x ,初相是. 【评注】正弦函数 y =A sin (ωx + φ)中, A＞0, ω ＞0, φ 可为正,可为负,亦可为0． 【例2】已知函数 y = 2sin (2x ), (1)求它的振幅、周期、初相; (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图像． 典型例题2 【分析】利用五点法作图关键要找出这五个点:最高点、最低点和与x 轴的 交点,根据正弦曲线的图像特点画出大致图像． 【解】(1) y = 2sin (2x )的振幅 A = 2,周期T = = π,初相φ = . (2)令 t = 2x + ,则 y = 2sin (2x ) = 2sin t. 列表: x t 0 π 2π y = sin t 0