6.2 倍角公式（课件PPT）-【教与学新方案】2023-2024学年中职数学·拓展模块一下册（高教版2021）

6.2 倍角公式 第六章 三角计算 6.2.1 倍角公式(1) 掌握二倍角公式,会运用二倍角公式进行简单的三角函数计算． 学业要求 本课学习重点是掌握二倍角公式及其简单运用;难点是二倍角公式的推导;关键是要理解“二倍角”的含义． 学习中要注意以下几点: 1.在公式推导过程中要注意体会化归的数学思想． 2.对“二倍角”应该有广义的理解,如:4α是2α的二倍角, α是的二倍角, 3α是 的二倍角等． 学法建议 3.要注意正切二倍角公式的存在条件,即: tan 2α要有意义,也就是2α ≠ kπ + (k∈Z),即α ≠ + (k∈Z); tanα也要有意义,即α ≠ kπ + (k∈Z); 1－tan2α ≠0,即 tanα ≠±1,也就是α ≠ kπ + (k∈Z).可归结为α ≠ + (k∈Z). 学法建议 【情境与问题】 如图6-4有一块以点O为圆心的半圆形空地,要在这块地上画出一个内接矩形ABCD辟为绿地,使其一边AD落在半圆的直径上,另两点B , C落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为1,如何选择关于点O对称的点A , D的位置,可以使矩形ABCD的面积最大? 知识建构 图6-4 【探究与分析】 设∠COD = θ,易得AD = 2cosθ, CD = sinθ,则矩形面积 S = 2sinθcosθ,只要求出 θ 取何值时2sinθcosθ 值最大,即可找到 A , D 的位置． 在2sinθcosθ 中,角θ 的正弦、余弦分别可取得最大值,但不能同时取到最大值.如果能将其转化为某个角的正弦,问题便可得到解决.联想到两角和与差的正弦公式的右端为异名函数之积,即 sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ． 不难想到,当α = β时, sin(α + β) = sin(α + α) = sinαcosα + cosαsinα = 2sinαcosα,所以sin 2α = 2sinαcosα． 所以当θ = 45°时, 2sinθcosθ = sin2θ = 1,矩形ABCD 的面积取得最大值． 同理可得, cos 2α = cos2α－sin2α, tan2α = ． 因为sin2α + cos2α = 1,所以cos 2α还可变形为cos 2α = 2cos2α－1 =1－2sin2α． 【建构与生成】 二倍角公式: sin 2α = 2sinαcosα,简记为S2α． cos 2α = 2cos2α－1 =1－2sin2α,简记为C2α． tan 2α = ,简记为T2α. 【例1】已知 sinα = , α∈( , π),求sin 2α,cos 2α,tan 2α的值． 典型例题1 【分析】先求出cosα,再根据公式计算即可． 【解】由α∈( , π),得cosα = = = , 于是,有sin 2α = 2sinαcosα = 2××() = , cos 2α = 1－2sin2α = 1－2×()2 = . 又因为 tanα = = , 所以 tan 2α = = . 【评注】此题cos 2α 也可以用余弦的二倍角公式的另两个公式求得, tan 2α 也可通过同角三角函数关系求得． 【例2】不查表,求下列各式的值: (1) sin15°cos15°;(2) 1 2sin2750°;(3) . 典型例题2 【分析】逆用二倍角公式进行计算即可． 【解】(1)原式 = sin15°cos15° = . (2)原式 = cos(2×750°) = cos1500° = cos(4×360°+ 60°) = cos60° = ; (3)原式 = × = tan30° = . 【评注】逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同,创造条件逆用公式． 已知sinθ－cosθ = ,求sin4θ + cos4θ的值． 思维拓展 要点归纳 三角函数 公式 简记 正弦 sin 2α = .