6.1 和角公式（课件PPT）-【教与学新方案】2023-2024学年中职数学·拓展模块一下册（高教版2021）

6.1 和角公式 第六章 三角计算 6.1.1 两角和与差的余弦公式 掌握两角和与差的余弦公式,会运用两角和与差的余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、证明. 学业要求 本课学习重点是掌握两角和与差的余弦公式;难点是两角差的余弦公式的推导;关键是体会在直角坐标系中“数”和“形”结合转化的思想． 学法建议 学习中要注意以下几点: 1.公式特征:两角和与差的余弦公式的右端为同名函数之积,连接符号左右两边相反. 2.公式作用:揭示了角α , β的差角α－β、和角α+β的余弦与角α , β的正弦、余弦之间的关系,其中角α , β都是任意角. 3.公式运用:既要注意公式的正用,也要注意公式的反用和变式运用． 学法建议 【情境与问题】 某城市的电视发射塔拟建在市郊的一座小山上,如图6-1所示,如果在地平面上有一点 A 到塔底 C 距离约为60m,∠CAB =15°,从点 A 观测电视发射塔的视角(∠CAD)必须为45°,如何求拟建的这座电视发射塔的高度? 知识建构 图6-1 分析:根据已知条件,要求电视发射塔的高度 DC 需在△ABD 中,根据三角函数概念求出BD,要求BD,需先在 △ABC中求出AB , BC,而求AB , BC 的关键是需要知道15°的正弦值或者余弦值.那么如何通过45°、30°的正弦、余弦值,求出15°的余弦值呢? 如果已知任意角α , β的余弦,能由此推出α－β的余弦吗? 【探究与分析】 不妨令α ≠ 2kπ+β,k∈Z.如图6-2,设单位圆与x轴的正半轴相交于点 A(1,0),以 x轴非负半轴为始边作角α,β,α－β,它们的终边分别与单位圆相交于点 P1(cosα,sinα), A1(cosβ,sinβ), P(cos(α－β), sin(α－β)).任意一个圆绕着其圆心旋转任意角后都与原来的圆重合,这一性质叫作圆的旋转对称性.联结 A1P1, AP.若把扇形OAP 绕着点O旋转β角,则点A, P 分别与点A1, P1重合. 图6-2 根据圆的旋转对称性可知, 与重合,从而AP = A1P1.根据两点间的距离公式,得 = , = , 化简得: cos(α－β) = cosαcosβ + sinαsinβ． 当α = 2kπ + β(k∈Z)时,容易证明上式仍然成立． 所以,对于任意角α , β 有cos(α－β) = cosαcosβ + sinαsinβ． 以 －β 代 β 可得:cos(α + β) = cosαcosβ－sinαsinβ． 【建构与生成】 两角和的余弦公式: cos(α + β) = cosαcosβ－sinαsinβ,简记为C(α + β); 两角差的余弦公式: cos(α－β) = cosαcosβ + sinαsinβ,简记为C(α－β); 【例1】计算: ① cos105°;② cos(－15°)． 典型例题1 【分析】易得105°= 60°+45°,－15°= 30°－45°=45°－60°,再根据公式即可求得． 【解】① cos105°= cos(60°+45°) = cos60°cos45°－sin60°sin45° = . ② cos(－15°) = cos(30°－45°) = cos30°cos45°+sin30°sin45° = . 【评注】利用两角和与差的余弦公式求值的一般思路: (1)把非特殊角转化为特殊角的和与差,再用公式直接求解． (2)在转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角和与差的余弦公式的右边形式,然后逆用公式求值． 【例2】已知sinα = , α ∈( , π),cosβ = , β∈ (π , π),求cos(α + β)的值． 典型例题2 【分析】由同角三角函数关系和两角和的余弦公式可以求得． 【解】由α ∈( , π),得 cosα = = = . 又由 β∈ (π , π),得sinβ = = = . 由余弦的和角公式得, cos(α + β) = cosαcosβ－sinαsinβ =.