2024年九年级中考数学提分专训课件 第10招 求阴影部分面积的六种常用技巧

第10招 求阴影部分面积的六种常用技巧 苏科版 九年级上册 九年级数学提分专训 典 例 剖 析 如图，AB为⊙O的直径，AC，DC为弦，∠ACD＝60°，P为AB延长线上的点，∠APD＝30°. (1)求证：DP是⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积． 例 典 例 剖 析 解题秘方：此类求不规则图形面积的问题，一般采用割补法，将不规则图形转化为已学过的规则图形，再通过面积的和或差计算． (1)证明：如图，连接OD. ∵∠ACD＝60°，∴∠AOD＝2∠ACD＝120°. ∴∠DOP＝180°－120°＝60°. ∵∠APD＝30°，∴∠ODP＝180°－∠DOP－∠APD＝180°－60°－30°＝90°. ∴OD⊥DP. 又∵OD为⊙O的半径，∴DP是⊙O的切线． 技巧 作差法 1 分 类 训 练 1. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D. (1)若∠B＝28°，求AD的度数； ︵ 解：如图，连接CD. ∵∠ACB＝90°，∠B＝28°，∴∠BAC＝90°－28°＝62°. ∵CA＝CD，∴∠CDA＝∠CAD＝62°. ∴∠ACD＝180°－62°－62°＝56°. ∴AD的度数为56°. ︵ (2)若D是AB的中点，AB＝2，求阴影部分的面积． 分 类 训 练 2. 【2023·淮安淮阴中学模拟】 如图，作⊙O的任意一条直径 FC，分别以F，C为圆心，以FO的长为半径作弧，与⊙O相交于点E，A和D，B，顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，得到六边形ABCDEF，则⊙O的面积与阴影区域的面积的比值为________． 技巧 割补法 2 【点拨】 分 类 训 练 3. 30° (2)求半径OC的长． (3)求BC的弧长． ︵ ︵ ︵ (4)求阴影面积． 【点方法】 计算不规则图形的面积时，常常通过割补法将不规则图形的面积转化为几个规则图形面积的和或差的形式． 技巧 等积法 3 分 类 训 练 4.如图，AB是半圆O的直径，点C，D是半圆O上的三等分点，若弦CD＝2，求图中阴影部分的面积． 【点方法】 本题利用等积法将阴影部分的面积转化为扇形OBD的面积． 分 类 训 练 5.如图，在平面直角坐标系中， 以A(5，1)为圆心，以2个单位 长度为半径的⊙A交x轴于点B，C，解答下列问题： (1)将⊙A向左平移______个单位长度与y轴首次相切，得到⊙A′，此时点A′的坐标为______，阴影部分的面积S＝______； 技巧 平移法 4 3 (2，1) 6 (2)求BC的长． 【点方法】 　本题利用平移法将图中阴影部分的面积转化为底为3，高为2的平行四边形的面积． 分 类 训 练 6.如图所示，三个小正方形的边长都为1，求图中阴影部分面积的和．(结果保留π) 技巧 化零为整法(凑整法) 5 【点方法】 　利用凑整法可将图中阴影部分拼成一个圆心角为135°、半径是1的扇形． 分 类 训 练 7. 【2022·青岛】如图，AB是⊙O的切线，B为切点，OA与⊙O交于点C，以点A为圆心，以OC的长为半径作EF，分别交AB，AC于点E，F，若OC＝2，AB＝4，则图中阴影部分的面积为________． 技巧 变换法 6 ︵ 4－π 【点方法】 　连接OB，根据切线的性质可得∠OBA＝90°，从而可得∠BOA＋∠A＝90°，根据题意可得OB＝OC＝AE＝AF＝2，然后利用阴影部分的面积为△AOB的面积－(扇形BOC的面积＋扇形EAF的面积)，进行计算即可解答． (2)解：∵∠P＝30°，∠ODP＝90°，OD＝3， ∴OP＝2OD＝6.∴DP＝＝3 . ∴S阴影＝S△ODP－S扇形DOB＝×3×3 －＝ －. 解：∵D是AB的中点，∠ACB＝90°， ∴CD＝AD＝AB＝1. ∵CD＝CA，∴△ACD为等边三角形． ∴∠ACD＝60°.易得S△ACD＝，∴阴影部分的面积 ＝S扇形ACD－S△ACD＝－＝π－. π 设⊙O的半径为r，则⊙O的面积S＝πr2.连接OA，OB，OD，OE，将图中阴影区域拼补为△EDO与△AOB，进一步确定△EDO，△AOB是正三角形，从而求出阴影区域的面积为r2，即可求解． 如图，AB是⊙O直径，弦CD垂直于AB，交AB于点E，连接AC，∠CDB＝30°，CD＝4. (1)∠CAB＝________. 解：∵CD⊥AB，∴CE＝CD＝×4＝2. 又∵∠CDB＝30°，∴∠BOC＝2∠CDB＝60°， ∴∠OCE＝30°，∴OC＝2OE. 又∵OC2＝OE2＋CE2，∴OC＝4， 即半径OC的长为4. 解：由(2)可知∠BOC＝60°， ∴BC的弧长为×2π×4＝π