专题集训：几何证明 讲练课件 2023—2024学年人教版数学八年级下册

专题集训：几何证明 新人教版初中八年级数学下学期 一、直角三角形的证明 1. 如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9. (1)求CD和AB的长； (1)解：∵CD⊥AB， ∴∠CDA＝∠CDB＝90°. AB＝AD＋DB＝16＋9＝25； ∴CD＝ ＝12， AD＝ ＝16， (2)证明：∵AB2＝252＝625，AC2＋BC2＝202＋152＝625， ∴AB2＝AC2＋BC2. ∴∠ACB＝90°. (2)求证：∠ACB＝90°. 2. (2023·东莞期中)如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是BC的中点，F是CD上一点，且DF＝3CF. (1)求证：AE⊥EF； (1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝4. ∵DF＝3CF，∴CF＝1，DF＝3. 在Rt△ADF中，根据勾股定理可得 AF2＝AD2＋DF2＝42＋32＝25. ∵E是BC的中点， ∴AE2＝AB2＋BE2＝42＋22＝20. ∴BE＝EC＝ BC＝2. 同理EF2＝EC2＋CF2＝22＋12＝5. ∴EF2＋AE2＝5＋20＝25. ∴EF2＋AE2＝AF2. ∴△AEF是直角三角形. ∴∠AEF＝90°. ∴AE⊥EF； (2)求四边形AEFD的面积. (2)解：S四边形AEFD ＝S△AEF＋S△ADF ＝ AE·EF＋ AD·DF ＝ ×4×3＝11. 3. 已知△ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，试判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由. 解：依题意，得a2－6a＋b2－8b＋c2－10c＋50＝0， ∴(a－3)2＋(b－4)2＋(c－5)2＝0. ∴a＝3，b＝4，c＝5. ∴a2＋b2＝c2. ∴△ABC是直角三角形. 二、证明线段a2＋b2＝c2 4. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，点E，F分别在AB，AC上且BE＝AF. 求证：BE2＋CF2＝EF2. 证明：∵AB＝AC，BE＝AF， ∴AB－BE＝AC－AF，即AE＝FC， 又∵∠BAC＝90°， ∴BE2＋CF2＝AF2＋AE2＝EF2. 5. 如图，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB于点P. 求证：BP2＝BC2＋AP2. 则BC2＋CM2＝BM2，BP2＋PM2＝BM2， ∴BC2＋CM2－PM2＝BP2. 又∵CM＝AM， ∴CM2－PM2＝AM2－PM2＝AP2. ∴BC2＋AP2＝BP2. 证明：如图，连接BM. 三、与平行四边形有关的证明 6. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E，F分别是OA和OC的中点. 求证：DE＝BF. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO＝OD，AO＝OC， ∵E，F分别为AO，OC的中点， ∵BO＝OD，EO＝FO， ∴四边形BFDE是平行四边形，∴DE＝BF. ∴EO＝ AO，FO＝ CO，∴OE＝FO， 证明：如图，连接DF，BE， 7. (2023·吉林)将两个完全相同的含有30°角的直角三角板在同一平面内按如图所示的位置摆放. 点A，E，B，D依次在同一直线上，连接AF，CD. (1)求证：四边形AFDC是平行四边形； (1)证明：依题意，得△ACB≌△DFE， ∴AC＝DF，∠CAB＝∠FDE. ∴AC∥DF. ∴四边形AFDC是平行四边形； (2)已知BC＝6 cm，当四边形AFDC是菱形时，AD的长为____cm. ∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝6 cm， ∵四边形AFDC是菱形，∴CF⊥AD，AD＝2AO. ∴∠AOC＝90°. ∴AD＝2AO＝18(cm). 故答案为18. ∴AC＝ BC＝6 (cm). ∴AO＝ AC＝ ×6 ＝9(cm). 18 (2)解：如图，连接CF交AD于点O， 8. (2023·东莞期中)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，点C在第一象限. (1)当点C的坐标为(___，___)时，四边形ABCD是平行四边形； (2)证明(1)中的结论. 7 3 (2)证明：∵点A，B，C，D的坐标分别为(0，0)，(5，0)，(7，3)，(2，3). ∴DC＝7－2＝5，AB＝5－0＝5，DC∥OB. ∴DC＝